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» On reconnaît aisément que tons ces maximum et minimum corres- 

 pondent à des valeurs réelles de z, soit si les segments M'j M'^ et M" M" n em- 

 piètent pas l'un sur Vautre, soit encore si l'un de ces segments est tout entier 

 compris entre deux points consécutifs de l'autre groupe. 



n Dans ces deux cas, le système des ombilics est entièrement situé sur 

 la droite XY. 



» Disposition circulaire. — Les propriétés précédentes, relatives à la 

 disposition rectiligne de deux groupes, se généralisent et s'étendent à la 

 disposition circulaire. 



)) Il est d'abord évident que chaque point M de la circonférence satisfait 

 à la relation 



(27) tang(M',MM'; + M;MM'; + . . . 4-M;,MM;) = const. 



» Par conséquent : 5/ deux groupes (M') et (M") se trouvent distribués 

 sur une même circonférence, cette circonférence appartient tout entière à une 

 cjclide A, transjormée d'une circorférence D, passant par les deux points 

 U et L". 



)) En second lieu, on peut, par une transformation rationnelle du pre- 

 mier degré, changer la droite XY, définie phis haut, en une circonférence, 

 sans altérer les propriétés de la figure formée par les deux groupes (M'), 

 (M") et leurs ombilics. Par conséquent ; Si deux groupes (M') et (M") appar- 

 tiennent à une même circonférence et occupent respectivement deux arcs qui 

 n'empiètent pas l'im sur l'autre, tous les ombilics de ces deux groupes sont situés 

 sur cette circonférence. 



M Dans ce cas, les positions 1 du point directeur, auxquelles correspon- 

 dent les 2 [p — 1) groupes dont ces ombilics sont les points doubles, se 

 distribuent sur une circonférence, passant par les points L' et L". 



» Supposons que les deux groupes (M') et (M"), appartenant à une 

 mémo circonférence, présentent une disposition telle que les droites 



M', M",, m; m;,..., m; m; 



aillent toutes concourir en un même point S. De ce point, comme centre, 



décrivons une circonférence assujettie à couper orlhogonalement celle qui 



passe par les deux groupes. Tout point N de cette nouvelle circonférence 



vérifiera la relation 



, „, NM', . NM', . . . NM' 

 28 — ^ ^ ^= const. 



Par conséquent cette circonférence appartient tout entière à une cyclide T. 



