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 correspondent, en vertu du système (2), un nombre de valeurs de X égal à 

 }), Pi... p„. En désignant par n le nombre de valeurs de / qui correspon- 

 dent réciproquement, en vertu des mêmes équations, à une valeur quel- 

 conque de X, on peut dire que Zet X sont liés par une équation algébrique 



(3) 9{i,y.) = o, 



d'un degré égal à p, p^-. p,, par rapport à X, et égal à n par rapport à Z. 



» Supposons qu'il existe dans cette équation un terme en X'''''' • ''"Z"; 

 en y faisant Z = X, on aura nue équation en Z ou X d'un degré égal à 

 p, p.. . . . p,i -h K, admettant, par suite, im nombre de racines égal à 

 p, p. . . . p„ -+- n. 



» A quelques-unes de ces valeurs de Z = X correspondent, en vertu 

 de (2), autant de systèmes de valeurs de x = ^, jr = -t^^ s = Ç,..., s z= g, 

 t = r, qui ne sont autres que les solutions du système (i). IMais 

 à X = Art + BZ'-j-Cc + ... + Gg 4- H/j correspondent n valeurs de Z 

 égales à cette même quantité, sans que les conditions a.- = '^,j' = ri, z = Ç,..., 

 s=:c, t = -. soient remplies pour les systèmes des valeurs correspondantes 

 de X, /, z,..,, s, t, ^, vj, Ç,..., (7, T. Restent p,p2--. p„ valeurs égales 

 de / et X, auxquelles correspond le même nombre de systèmes de valeurs 

 de jc,j-,z,..., s, t, qui sont les solutions du système (i). 



» IV. La démonstration précédente suppose que l'équation (3) contient 

 tui terme en X'''''= '"Z". On voit aisément qu'il en est ainsi tant qu'un cer- 

 tain déterminant, qui n'est autre que le résultant des équations (i) respec- 

 tivement réduites à leurs termes du plus baut degré, n'est pas nul. Si ce 

 déterminant est nul, les équations (i), réduites chacune à leurs termes du 

 plus haut degré, et dans lesquelles on fait i = i, admettent un certain 

 nombre de solutions communes. Eu désignant ce nombre par i^, et comp- 

 tant d'ailleurs chaque solution conunune avec son degré de nndtiplicité, 

 on démontre aisément que le nombre des solutions de l'équation (i) est 

 alors réduit à p, p2- • • p,, — ii. 



» Dans le cas où une ou plusieurs des inconnues x,^, s,... s, t, entrant 

 dans chacune des équations (1), a un degré inférieur à celui de l'équation, 

 on peut mettre eu évidence, dans ù, un ou plusieurs termes qui viennent 

 abaisser le nombre des solutions. 



» C'est ce qu'indique le théorème suivant : 



» Théorème. — Si iniic ipielconque des inconnues entie dans les àpid' 

 lions{\) au.x degrés m,, m.,,... ni,i, respecliveincnt moindres (pie p,, P'^--> p,n 



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