( 271 ) 



ANALYSE. — Propriétés géoinélriques des fractioTis ratiormclles {'). 

 Note de M. F. Lucas, présentée par M. Resal. 



« Ombilic multiple. — Il peut arriver qu'un groupe de points racines, 

 par exemple le groupe (M"), déterminé par l'équation (7) 



4' (z) = o> 

 contienne un point multiple à un degré q supérieur au second. 



» Soit m" ce point multiple et désignons par Ç" sa coordonnée. Nous 

 pourrons poser 



(29) ^(^) = (^-0'x(2). 



y^ (z) désignant un polynôme du degré (p — (])■ 

 » L'équation aux ombilics devient 



(3o) {z--Ç")''-'\{z--Ç")\x{z)cp'{z) -y:(z)o{z)]-ciy^{z) f{z)\=o. 



» Elle détermine, d'une pari, un ombilic multiple, comprenant [q — i) 

 fois le point m" et, d'antre pari, [ip — q — i) ombilics simples I. 



» Supposons que le point directeur L vienne se placer dans l'extrême 

 voisinage de L" et soit (V-h s) sa coordonnée. Il est évident que q points 

 du groupe M se distribueront dans le voisinage du point multiple m"; soit 

 {'Ç' 4- u) la coordonnée de l'un quelconque de ces points. En désignant 



f(z) 

 par H ce que devient la r/'""^ dérivée de la fraction rationnelle 7^— ( pour 



z = Ç", nous aurons 



(3.) „.=.l_ii__i_^. 



» Par conséquent : Les q points M infiniment voisins de m" occupent les 

 sommets d'un polygone régulier ajant son centie en ce point. 



» Si L décrit autour de L" un contour fermé infinitésimal, le polygone 

 régulier tourne d'un angle -^ autour de ///" et reprend finalement son 



rayon primitif. 



M Si Ïj décrit un élément rectiligne passant par L", chacun des q points 

 M infiniment voisins de m" décrit successivement deux éléments rectilignes 



se coupant en ce |ioint sous l'angle -5 les q becs ou points saillants ainsi 

 (*) Voir Comiitcs rendus, scanccs îles il et ig janvier i874' 



35.. 



