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obtenus sont égaux entre eux et disposés régulièrement autour de m"; ils 

 forment ensemble un point étoile, pouvant appartenir à une courbe algé- 

 brique. 



» Groupe se réduisant à un point multiple. — Dans le cas particulier où 

 5' = p, c'est-à-dire si tous les points du groupe (M") se réunissent en un 

 seul tn", ayant pour coordonnée Ç", ce point ni" devient un ombilic mul- 

 tiple du degré [p — i). 



» Les {p — i) autres ombilics sont déterminés par l'équation 



(32) {z-Ç)?'{^)-P?{^) = o; 



ils représentent ce que j'ai proposé d'appeler les conjugués de m" relative- 

 ment au groupe (M') (*). Chacun de ces points I vérifie l'une ou l'autre des 

 relations 



(IM', .IM', im; . . . 



,„„, \ =^7, = maxmium ou muiimum. 



(33) Im"'' 



{ tang (M', Im"-h M'2l;«"+ . . . + M'^ Ini") = maxim. ou minim. 



» En appliquant à ce cas particulier un théorème démontré plus haut, 

 on peut formuler l'énoncé suivant : 



» Si tous les points du groupe (M') sont distribués sur une circonférence pas- 

 sant par m", les conjugués de ce dernier point relativement au groupe (M') ap- 

 partiennent aussi à cette circonférence. 



» Si le point directeur L décrit une trajectoire finie passant par L" (po- 

 sition à laquelle correspond le groupe m"), la trajectoire des points du 

 groupe (M) présente en m" un point étoile, a\ec {p — i) tangentes distinctes 

 qui divisent le plan en 1 {p — i) angles égaux. 



» Gi'oupe passant à l'infini. — Supposons maintenant que le point m" 

 passe à l'infini. L'équation 



^{z) = o 



ayant toutes ses racines infinies, son premier membre se réduira nécessai- 

 rement à un terme constant k. 



» La formule (8) 



X— X' _ 9 (z) 



V 



(*) Etudes analytiques sur la théorie générale des courbes planes, livre VII, cliap. I; 

 1864. Mallet-Bachelier. 



