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 numérique du système (ou son genre), qui est un nombre dont la valeur 

 reste la même pour deux systèmes qui se correspondent d'une manière 

 biratiomielle, c'est-à-dire, qui sont tels que leurs courbes se correspon- 

 dent une à une. Ce nombre se présente de la manière que nous allons in- 

 diquer. 



» Nous désignons par 

 n l'ordre d'une courbe du système; 

 e le nombre de ses points cuspidaux; 



p. le nombre des courbes du système qui passent par un point; 

 2(/5 — i)r la somme des ordres r des branches p-tuples de courbes du 



système, multipliée par p — i ; 

 a l'ordre de l'enveloppe du système; 

 e^ le nombre des points cuspidaux de l'enveloppe; 

 Is la sonune des ordres des branches stationnaires. 



» En ajoutant des accents aux notations indiquées ici («', /x',...), nous 

 représenterons les nombres réciproques que l'on obtient par le principe de 

 dualité. 



» 2(p — \)r' renferme le nombre des courbes présentant un nouveau 

 point double; l{p — i)r celui des courbes présentant une nouvelle tan- 

 gente double. Une courbe d'un système, ou une partie d'une courbe, s'ap- 

 pelle slationnaire si son mouvement (altération) est infiniment petit par 

 rapport à celui de la courbe homologue d'un système qui correspond 

 d'une manière birationnelle au système donné. On aurait pu regarder ces 

 courbes (ou branches) comme faisant partie de l'enveloppe Nous ne regar- 

 dons pas les lieux des points singuliers comme faisant partie de l'enve- 

 loppe. 



» Considérons deux systèmes qui se correspondent d'une manière bira- 

 tionnelle, et distinguons les nombres qui y appartiennent par les suffixes 

 I et 2 (n,, Pi, rt,,...; n^^ p..,,...). Le lieu des points d'intersection des tan- 

 gentes, menées d'un point fixe O, aux courbes du premier système avec 

 les tangentes menées d'un autre point fixe O^ aux courbes correspon- 

 dantes de l'autre système, sera une courbe de l'ordre p', n'., -+- p'on', ayant 

 les points O, et Oo pour points multiples des ordres p.,«'i et p', ri... respecti- 

 vement; ce que l'on voit en comptant les points d'intersection du lieu avec 

 des droites par O, et O2. 



les Propriétés générales des systèmes e/e courbes planes, etc., (pie j'ai publié dans les Mé- 

 moires (le la Société danoise des Sciences, j8'j3.) 



