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 » Les tangentes à ce lieu passant par O, (y compris les droites joignant O, 

 aux points doubles et cuspidaux de la courbe, excepté O, et Oj) sont : 

 1° les fA'2 «', droites qui ont ce même point pour point de contact; 1° les 

 droites tangentes à des courbes du premier système qui correspondent à 

 des courbes du second système dont deux des ri^ tangentes par le point O, 

 coïncident; et 3° n\ fois les droites tangentes à deux courbes consécutives 

 du premier système. On trouve, en égalant le nombre de ces droites à celui 

 qui résulte de la substitution du point O2 à O, et en négligeant les termes 

 communs aux deux membres de l'équation (qui correspondent aux points 

 singuliers de la courbe construite), 



)) On voit donc que la valeur de 



( I ) '^—^- '^ ~ = l 



reste la même pour les systèmes dont les courbes se correspondent une à une. 

 Nous appellerons ce nombre i l'invariant numérique du système. 



» Si l'on construit une figure réciproque à une figure qui contient un 

 système quelconque, on obtient un nouveau système qui correspond de la 

 manière indiquée au système donné et qui a, par conséquent, le même in- 

 variant numérique. Ou trouve, eu y appliquant la fornude (i), 



, > (l -j- Is — u-' — 2 u. — llp — I ) /■ 



(2) ■ ' -^ — -i-=;. 



» La formule (i) est applicable au cas où les courbes du système sont 

 des points. Alors « = p, = o, w' = i , et /jl' = a est l'ordre du lieu des points 

 qui forment le système, a' est sa classe et 1s' = Ca est le nombre de ces 

 points cuspidaux. On trouve donc 



î = rt' + Ca — 2rt == 2(/J — l), 



OÙ p est le nombre que M. Clebsch a appelé le genre de la courbe. 



» En posant de même, pour un système quelconque, / =: 2 (^ -«- i), et 

 en appelant p le genre du système, on pourrait remplacer, dans le théo- 

 rème que nous avons énoncé sur l'invariant numérique, ce nombre par le 

 genre du système. Le genre d'un système est égal à celui d'une courbe 

 dont les points correspondent d'une manière birationnelle aux courbes du 

 système. Si le paramètre, variable dans l'équation qui rapporte le système 



