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 à un système de coordonnées, y entre d'une manière ralioiuielle, les va- 

 leurs de ce paramètre peuvent servir à déterminer les points d'une courbe 

 unicursale [p = o); le système de courbes est donc lui aussi du genre nul 

 {/ = — 2) et s'appelle un système uniairsat. 



» On peut aussi appliquer la formule (1) au cas où chaque courbe d'un 

 système («,, p.,,---) détermine .v^ points d'une courbe (ordreN, classe N', 

 E points cuspidaux, genre P), pendant que chaque point de cette courbe 

 détermine jr, courbes du système. Alors à chaque combe du système donné 

 correspond dans un autre système une courbe composée de x, points, et 

 chaque point du lieu de ces points appartient à x, de ces coin-bes com- 

 posées. Si l'on désigne par j-^ le nombre de coïncidences de deux pouits 

 correspondant à une même courbe donnée, et par j", le nondjrc de coïn- 

 cidences de deux courbes correspondant à un même point, on aura 



nj=|j.2 = o, n^ = X2, fl'2 = x,N'-l- /,, /j4 = x, N, 



2/2 = :t,E, Ifpa — l)/'2 = J-o, 



d'où, comme N' -H E — 2N = 2(P — i), et comme les deux systèmes 

 doivent avoir le même invariant /, = 2(^1 — i), 



(3) J, -J2 = 2.ro(/>, - i)-2X,{V - i). 



» Dans le cas où aussi les courbes du premier système sont des points, 

 on retrouve une formule que j'ai prouvée ailleurs (*) par des procédés ana- 

 logues. 



» On voit, par l'exemple que nous venons de discuter, comment on peut 

 appliquer les formules (i) et (2) à des systèmes qui se correspondent d'une 

 manière quelconque (irrationnelle). 



» Les formules (i) et (2) servent à déterminer l'ordre et la classe de l'en- 

 veloppe d'un système dont on connaît, à côté d'un nombre suffisant de carac- 

 téristiques, l'invariant numérique et les courbes stationnaires ("). 



» En appliquant la formule (3) à un système de courbes et aux groupes 

 de leurs n -+- n' points de contact avec l'enveloppe, on trouve que le 



(*) Mathcnintisc/ie Jnntilen, t. III, p. i5i. 



{**) Ces résultats, ainsi que les valeurs que nous trouverons après pour les autres nombres 

 pluckériens de l'enveloppe, concordent avec ceux que M. lïenrici a trouvés pour le cas 

 particulier où le système est unicursal, composé de courbes dénuées de points siiiyuliers, 

 et dénué lui-même de courbes à branches multiples. [Proceedings of thc Londoit Math. 

 Society, vol. II, p. 182). 



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