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 S, - — I- v) -^; les autres émanants s'obtiennent en opérant sur la forme 



r/.r (Ij ' , 



donnée avec le symbole A = ( -^ — h vj y- ]» et, pour abréger, je les désigne- 

 rai par la notation à.' f[x, j). Ils jouent un rôle important dans la théorie 

 de l'équation y (x, ^) = o, et, à cet égard, j'énoncerai d'abord le théo- 

 rème de Rolle sous la forme suivante . 



» Étant donnée une équation de degré m et à coefficients réelsf^x^j) = o, 

 si l'on pose, pour abréger. 



o = (..,-^5)(|f+„^. 



oii ^ désigne une (juantité réelle quelcout^ue, 



» 1° Deux 7-acines consécutives de la proposée contiennent toujours un 

 nombre impair de racines de l'équation Û = o ; 



» 2° Si toutes les racines de la proposée sont réelles, toutes celles de l'équa- 

 tion ii := o sont également réelles et séparent celles de la proposée. 



» Je ferai remarquer que l'on peut remplacer l'équation ii = o par l'é- 

 quation 



tlF ./F\ IdV dY dY <IY\ 

 X — -JrJ —\\-T-- nr-r-l=0. 



/? •' dn J \ dx dn d\ dy 



dont deux racines sont en évidence, les autres pouvant être déterminées 

 par la résolution d'une équation du degré {m — 2). 



» 2. Soit une équation, de degré m, f[.x, y) = o, à coefficients réels 

 ou imaginaires; représentons?, avec Cauchy, ses ni racines par m points du 

 plan que nous appellerons les points laciiics; nous aurons les propositions 

 suivantes : 



» Théorème I. — Etant donné un cercle quelconque contenant tous les 

 poitUs racines de l'équation, et étcmt pris un point quelconque S, en dehors de 

 ce cercle, toutes les racines d'une quelconque des équations 



que Von obtient en égalant à zéro un émanaiit de l'équation proposée, sont éga- 

 lement contenues dans l' intérieur de ce cercle. 



» Remarque. — Si toutes les racines de la proposée étaient en dehors du 

 cercle, le point § étant situé en dedans, toutes les racines des équations, 

 obtenues en égalant les émanants à zéro, seraient également en dehors du 

 cercle. 



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