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 lu la somme des nombres des points de contact des branches station- 

 na ires, 

 c',... les nombres réciproques [lu' = lu). 



» Nous regarderons de nouveau deux systèmes dans le même plan qui 

 se correspondent d'une manière birationnelle, et nous ferons usage d'une 

 surface auxiliaire^ lieu des courbes d'intersection de deux cônes, ayant des 

 sommets fixes O, et O, au dehors du plan des systèmes, et projetant des 

 courbes correspondantes. On voit sans difficulté que cette surface est de 

 l'ordre /j., «2 H- /J.2«i, et que les points O, et Oj en sont des points mul- 

 tiples (coniques) des ordres p.o7i, et p., iin. 



» O, est sommet d'un cône circonscrit composé : 1° du cône tangent 

 en ce point pris deux fois; -2° d'un cône de l'ordre [j.'„ ?2, + ;-»., ?4 projetant 

 les points de courbes du premier système qui, avec les points O, et Oo, 

 déterminent des plans tangents aux courbes correspondantes du second 

 système; 3° des cônes projetant l'enveloppe et les courbes stationnaires du 

 premier système, pris tu fois; et 4° des cônes projetant les courbes du pre- 

 mier système qui correspondent aux courbes à branches doubles du second 

 système, pris r^ fois respectivement. 



M Le cône tangent en O, est composé de [u cônes projetant des courbes 

 du premier système. Chacun de ces cônes d'ordre 7Z, a /;, contacts avec la 

 deuxième, et n,-hfî^ contacts avec la troisième des parties du cône circon- 

 scrit que nous venons d'énumérer. Les génératrices de contact sont les 

 tangentes osculalrices à la surface auxiliaire en O,. 



» O2 est le sommet d'un cône circonscrit composé d'une manière ana- 



logue. 



» En déduisant de ces circonstances deux expressions de l'ordre d'un 

 cône circonscrit quelconque, on ne fera que retrouver la formule (2), qui 

 servait à la détermination de a; mais nous obtiendrons une nouvelle rela- 

 tion en cherchant deux expressions du nombtc des tangentes osculalrices à la 

 surface auxiliaire qui passent par un point quelconque de l'espace. 



» Si luie surface est douée d'un point conique O,, le cône tangent étant 

 de l'ordre i> de la classe v' et doué de 5 génératrices doubles et de s géné- 

 ratrices cuspidales, et que ces à -+- s. généralrices, comme dans le cas qui 

 nous occupe, soient tangentes aux branches des courbes double et cnspidale 

 delà surface qui passent en O,, il y aura en O, 2V-\-i>'[=i>{v-[-i) — 2o — 3e] 

 tangentes osculalrices simples. Si un point O de l'esi^ace tend à coïncider 

 avecO,, des tangentes osculalrices à la surface qui passent par O, 3{2V+i'') 



