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 tendront à coïncider avec les tangentes osciilalrices en O,, 2£ avec les tan- 

 gentes aux branches de la courbe cuspidale qui passent en O,; et encore 

 "iv' de ces tangentes osculatrices par O, qui tendront à se trouver dans les 

 plans tangents an cône tangent en O, qui passent par la dueclion limite 

 O, O, auront le point O, pour position limite de leurs points de contact. 

 En ajoutant à ces nombres celui des tangentes osculatrices par O, qui 

 n'ont pas ce même point pour point de contact, on trouve le nombre des 

 tangentes osculatrices qui passent par un point quelconque. 



» Appliquons ce procédé à notre surface auxiliaire, toutefois en com- 

 mençant par supposer qu'aucun des systèmes donnés ne soit un système 

 de droites. 



» Alors, en comptant les droites par O, et par O2, qui, selon la con- 

 struction de la surface auxiliaire, la rencontrent en trois points consécutifs, 

 et en négligeant, comme dans la déduction de (i), les termes dus à ui»e 

 multiplicité de la surface, on trouve que l'expression 



n\)] 

 (A) 



i ;j.,.[3(2«| + 7i\) + 2e, -+- jn\] + c',«| + 3[(7, //, +• P-'ol") + "'i)] 



\ +-<',,, -i- 3 /z, + «',)2/\ + 7;,2(3/\, -t- f^,.), 



où la dernière somme 2( ) n'est étendue qu'aux branches doubles courbes 

 (et non pas à celles qui se réduisent à des points), esl égale à celle qui ré- 

 sulte d'un changement des suffixes. 



» La raison pour laquelle la formule qu'on obtient ainsi n'est pas appli- 

 cable au cas où un des systèmes, le second par exemple, consiste en droites, 

 c'est qu'alors la surface auxiliaire contient fJ-oWi droites par O,. Celles-ci, 

 si l'on fait usage de l'expression (4), seront comptées trois fois dans le 

 nombre des tangentes osculatrices en O,, et trois fois dans celui des 

 autres tangentes osculatrices. Or elles ne doivent être comptées que pour 

 3|7.o7Z| tangentes osculatrices. Il faut donc soustraire, dans ce cas, '5[j..,7if 

 de l'expression (4). En posant, en même temps, 



"'2 = Ca= P-'o = t"2 = ^'-2 = ■^'^^•,2 = -'2 = -(3/2 -I- Cr,.) = O, 

 112 = l, IJ.2 = «2» -^2 = -"2 = c'a,:, 



et 



«2 + f'„,,— 2«', = |(2(?'„^,+ <?„,o — 3ri'.,) == 2(/)2 — 1) = i. = /,, 



où /, =^ i-2 est la valeur commune de rinvari.int numérique, on trouve 

 (5) ea=i{'in-h3?i'+e)-h6iJ.-h3iJ.' + c-hc'—-2lu — l(',-h'5lr-i-l3i'+er), 

 où la dernière somme n'est étendue qu'à des branches courbes, et où nous 



