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lion n'a d'utilité qu'à cause du peu de grandeur des variations de ces orbites, 

 mais elle ne saurait être supprimée en Astronomie. Or ma théorie permet de 

 déterminer très-facilement, au moyen des quantités qui y sont recherchées, 

 les orbites de deux planètes tournant autour du Soleil, en ayant égard à 

 leurs actions mutuelles. 



» Après avoir obtenu les huit équations canoniques, on est porté à croire 

 que, si l'on ajoutait les huit intégrales de ces équations aux trois intégrales 

 des aires, on obtiendrait onze intégrales distinctes; mais on tomberait ainsi 

 dans une grave erreur. En effet, dans la solution que je donne du problème 

 des trois Corps (voir Comptes rendus cités), j'imagine que l'on ait trouvé les 

 intégrales du système canonique et, après y avoir ajouté l'équation résul- 

 tant de la somme des carrés des trois intégrales des aires, j'achève la solu- 

 tion du problème par des considérations purement géométriques, c'est- 

 à-dire sans faire intervenir aucun principe de Mécanique. Or il est évident 

 que ma solution doit dépendre des trois équations des aires; il en résulte 

 que deux combinaisons des trois équations des aires doivent être renfermées 

 dans le système des équations canoniques. 



» Cependant cette pioposition est assez importante pour qu'on désire en 

 avoir une démonstration directe, et d'autant plus qu'il ne suffit pas de sa- 

 voir que deux combinaisons des équations des aires sont contenues dans 

 les équations canoniques; il importe encore de savoir en quelle manière 

 elles y sont renfermées. Or je suis parvenu à combiner les équations des 

 aires, de manière à obtenir les deux équations suivantes : 



dû dG, 



""^dT^ir 



C— (G + G,Pr. . / I I \ /sin'a sin=a,\ , ."! 



H ^71 -^ sinasuia, — ; r — — i r cos(«, — a) u 



sm[a — a,) /sin'a sin^aA ,„ „ , tdG f/G, 



S!n'a,cos(ai — a)\ dx 

 i/i,r] ) de 



sin'acos(ai — a)\ <fa, 



mr- j dt 



G sin'a,cos*(a — a,) G, sinV, cos(ai — a) 



, , (G-G,) + 



» Quand on a obtenu ces deux équations, il n'y a plus aucune difficulté 

 à vérifier qu'elles sont des combinaisons de quatre des équations du sys- 

 tème canonique. Ainsi se trouve démontré, de deux manières, un point 

 sur lequel plusieurs géomètres se sont trompés. » 



