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» 4° Lorsque h est double du produit de deux nombres premiers de la 

 forme 87?z + 5. 



» 2. La double égalité plus générale 



n'admet pas de solution rationnelle dans chacun des cas suivants : 



» 1° Si, tétant égal à i, A: est un nombre premier de l'une des formes 

 8/72 + 3, 8/« + 5, ou le carré d'un nombre premier des mêmes formes; 

 lorsque, de plus, les diviseurs premiers impairs de k — i sont tous de la 

 forme4'raH-3, ainsi qu'il arrive pour A^ ^ 3, 5, i3, 19, 29,..., et pour A" 

 égal au carré de l'un des nombres 3, 5, i3, S'y, 43,.... L'impossibilité a lieu 

 aussi pour A = 2 et pour A = 4- 



» 2° Si, k étant égal à 2, A est un nombre premier de la forme 8m ■+- 3, 

 ou double d'un nombre premier de la forme S m ■+- 5, pourvu que les 

 facteurs premiers impairs de A — 2 soient tous de la forme 8in-+- 7; par 

 exemple, si A = 3, i63, 33i, 449v) et si A = 10, 58, 394, 634,.... 



» 3° Si k et k sont deux nombres premiers, h de la forme 8m -+- 3 ou 

 8/n + 5, k de la forme 8m' -+- 7, pourvu que les facteurs premiers impairs 

 de A' — h soient tous de la forme 4'« + 3 et non résidus quadratiques de k ; 

 par exemple, si les valeurs de y^ et A: sont 3 et 7, 1 1 et 7, 19 et 23, 43 et 

 47,..., ou bien 5 et 7, 5 et aS, i3 et 7, 29 et 7, 



» 4° Si h est un nombre premier de la forme 8m + 3, et si k est égal au 

 carré de h, pourvu que les diviseurs premiers impairs de h — i soient 

 tous cle la forme 4'"+ 3; par exemple, si Ji = 3, 19, 43, 67, 



» 5° Si h est un nombre premier et A est égal au produit de h par un 

 autre nombre premier /j, lorsque h et p sont l'un de la forme 8m-+- 3, 

 l'autre de la forme 8m 4- 7, et que les diviseurs premiers de p — i, autres 

 que 2 et h, sont tous de la forme 4^" + 3 et non résidus quadratiques 

 de //; si, par exemple, les valeurs de p et h sont 3 et 7, 7 et 19, 23 et 1 1, 



» 3. On reconnaît encore l'impossibilité, en nombres rationnels, de la 

 double égalité 



0:^ + 1 = /'', x^ — p = z^. 



lorsque p est un nombre premier de la forme 8m + 3 ou 8m + 5, et que 

 tous les facteurs premiers impairs de /j + i sont de la forme 4'" + 3; par 



exemple, lorsque p = 3, 5, 1 1, 37, 



» Il va sans dire que, dans ces énoncés, en parlant de facteurs premiers 

 impairs, on ne tient pas compte de l'unité. On rejette ainsi la solution x = o 

 dans les cas où elle serait possible. 



