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 » 4. Les propositions précédentes comprennent le théorème connu sur 

 l'impossibililé de trouver quatre carrés en progression arithmétique; elles 

 comprennent aussi le théorème suivant, qu'on peut regarder comme luie 

 généralisation de celui-ci. Les valeurs des expressions 



x-{p-h i)r, -r -{p-^)j, X + (/j - i)j, X + (/; + i)j 



ne pourront pas être quatre nombres carrés, jc et j- désignant deux nom- 

 bres premiers entre eux, si p est un nombre premier Sm ± 3, tel que 

 P — I et /j + I n'admettent aucun diviseur premier de la forme 4'« + i> 

 ainsi qu'il arrive pour/7 = 3, 5, i3, 37,.... 



» 5. Les mêmes propositions entraînent l'impossibilité de résoudre, en 

 nombres entiers, certaines équations du quatrième degré de la forme 



(en écartant la solution évidente x ~ o ouj=: o). Il suffira que h et k 

 prennent les valeurs qui rendent impossible, en nombres rationnels, la 

 double égalité indiquée au n° 2. 



» Cela aura lieu aussi pour l'équation 



jc''-+- 2(2/1 — h)jc^j--^ h^)'' = Z-. 



» Les valeurs de h, pour lesquelles une solution rationnelle de la double 

 égalité du n° 1 est impossible, rendront impossible aussi de résoudre en 

 nombres entiers chacune des équations 



x' ± 6hx-j- + h-j' = z\ X* -+- kh-y' = Z-. 



n Dans ces théorèmes sont compris plusieurs cas particuliers traités par 

 Euler : par exemple, l'impossibilité des équations 



x'±x^j- + y*= z-, x'±jfixy'-hy' = z\ 

 et conséquemment de chacune des doubles égalités 



1° X= - XJ ^J^ = U^, .r^ + ,XJ + J- = (.= ; 



2° X-— liXX -{-J^^ u-, X-+ ^XJ -h-j-^ V-. 



» J'ajouterai à ces exemples l'équation 



X* 4- Gx-j^ — I j' = z-, 



Impossible aussi en nombres entiers; d'où l'on déduit qu'il est impossible 

 de satisfaire à l'équation 



ce'' + j' -^ z'' = o, 



par des valeurs de x,j, z, qui soient les racines d'une équation du troi- 

 sième degré à coefficients rationnels (extension d'un théorème de Lamé). » 



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