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GliOMÉTRlE. — Conditions pour quiine conique ait, avec une couibe iV ordre 

 quelconque, un contact du cinquième ordre. Note de M. Painvin, présentée 

 par M. Chasles. 



« 1. Pour exprimer que la conique a, avec la courbe, un contact du 

 cinquième ordre, il faudra égaler à zéro les coefficients de X", X' et X' 

 de l'équation (3), que j'ai donnée dans la Note insérée aux Comptes rendus, 

 5 janvier 1874, p- 57. Après quelques réductions très-faciles, on obtient 

 les trois équations de condition 

 (.) P? = o, 



(2) v\ P'-rrA'Pî = o, 



(3) (P')'PJ -Pï P' A'PÎ + P? A'PJ A'P^ H-(PÎ)' A=PJ = 0. 



Ces relations se prêtent immédiatement à plusieurs interprétations géomé- 

 triques que je vais faire connaître. 



)) Je désignerai par Mq le point où la conique doit être osculatrice à la 

 courbe donnée o; par M, le point où la tangente en Mo rencontre la 

 polaire cubique du point Mq. Je représenterai par P'*, P% P*, P',.,. 

 les polaires du deuxième, troisième, quatrième, cinquième,... ordre du 

 point Mo par rapport à la courbe 9, et par A'Pj la polaire du /'""* ordre 

 du point M| par rapport à la polaire P'". 



» 2. Si la relation (i) a lieu seule, la conique aura avec la courbe 9 un 

 contact du troisième ordre; le point Mo peut être choisi arbitrairement: 

 le point M, est alors parfaitement déterminé et unique. La corde commune 

 à la conique osculatrice et à la conique polaire de Mo est seulement assu- 

 jettie à passer par le point M, ; il y a évidemment une infinité de coniques 

 correspondant au point choisi Mo, et ces coniques varient avec la position 

 de la corde commune tournant autour du point M,. On a, dans ce cas, les 

 propriétés suivantes : 



» Lorsqu'une conique 1 a, avec une courbe 9, un contact du troisième ordre 

 en Mo : • 



» 1° Le point M,, oii la tamjente en Mg rencontre la corde commune à la 

 conique 2 et à la conique polaire de Mo, est i intersection de cette tawjente avec 

 la polaire cubique de Mq. 



» 2° La droite polaire de M,, par rapport à P', passe par M, ; la droite 

 polaire (fcM,, pdr rapport à P\ passe par MqJ les droites polaires de M,, par 

 rapport aux courbes P'", ne passent ni par M,, ni par ^^^ lorsque r est supé- 

 rieur à [\. 



