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n 3^ La polaire A'P^ touche en M, la polaire cubique P'; d'ailleurs^ de ce 

 que le point M, est sur la lanrjente en Mq, il résulte que cette courbe A'P' passe 

 par Mo et y touche la droite A'Pj. 



» La polaire A'P| divise harmouiqticment le segment MpM,. 



» La polaire A^PJ passe par Mo et rencontre Mo M, en J; In droite A'Pj 

 rencontre Mo M, en K; le segment MoK est divisé harmoniquement par le seg- 

 ment JM,. 



» La proposition i" est connue depuis longtemps (*); les autres sont 

 nouvelles. 



» 3. Lorsque les relations (i) et (2) ont lieu à la fois, la conique 1 a, 

 avec la courbe, un contact du quatrième ordre; le point M„ peut encore 

 èlre choisi arbitrairement, mais l'équation (2) définit alors complètement 

 la corde commune à la conique polaire et la conique 2, et cette conique 

 est, pour chaque point M,, déterminée et unique; c'est la conique qu'on 

 nomme osculatricc. 



» 4. Si les relations (i), (2!, (3) ont lieu à la fois, la conique 1 aura 

 avec la courbe lui contact du cinquième ordre; je la noinn)('rai suros- 

 culatrice. Dans ce cas, le point Mo n'est plus arbitraire; ses coordonnées 

 doivent vérifier une équation du degré (i2/« — 27), [ni étant l'ordre de la 

 courbe ç), que M. Cayley a fait connaître dans les Philosophical Transac- 

 tions, i865. 



» Le mode de calcul que j'ai suivi m'a permis de trouver une interpré- 

 tation géométrique de celte équation de condition, qui se présente sous 

 une forme analytique très-compliquée. 



» Soient Mo le point ou une conique 1 a, avec une courbe d'ordre m, un con- 

 tact du cinquième ordre, M, le point oit la tangente en M,, rencontre la polaire 

 cub'ique P' de Mo, et M' le point de rencontre des tangentes en Mq et M, à la 

 conique polaire A-Pj de M, parrnppo)t à P' {polaire cubique de 'M„). 



» Désignons par C et D les points oii la corde conmiunc à la eon'upu' polaire 

 de Mo et à la conique surosculatrice 1 rencontre la polaire conique A'-PJ de M, 

 par rapport à P* et la (boite polaire A' P* de M, par rapport à P*. Soient enfin 

 C et D' les points oii les ilroites M'C et jM'D rencontrent le segment Mj M, ; 

 I l'un quelconque des points d'intersection avec Mo M, de la conique A'P* 

 [polaire de M, par rapport à V* }, et K l'intersection avec Mo i\I 1 de la droite A' PJ 

 (polaire de M, par rapport à l"^). 



B Pour que la coni(iue i ait, an point Mo, un coiitaet du cinquième ordre avec 



(*) .^ Trealisc on thc higitcr plane curves, by G. Salinon, p. 35g, 1873. 



