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Dos t'qualions (3) on déduit les relations 



X(? + ?') + ij.{-n + >,') + v(ç + ç'j = o, 



X(| + %') +¥(•/; + V) + Z(Ç 4- Ç'j = o. 



Entre la première et les équations (i) et (2), on peut éliminer ^', -z^', Ç' 

 ainsi que X, p., v, et l'on obtient l'équation suivante de la surface S : 



c^ (^a- - b-y x-j- + a\h- - c-)-y- z- + b^c- - n'- y z- x^- 



-b-c\b-- c'yjc^--c-a^{c-- n^Y)-'-- a-b\a^ - b^)z*= o. ■ 



» Delà seconde résulte la proposition suivante : 



» Etant donné un hexaèdre quelconque appartenant à une surface du second 

 ordre, et ajanl pour centre le point M, le plan mené par le centre O de c^tle 

 surface perpendkulcnremenl au rayon OM passe par les milieux des dix dia- 

 mètres de r hexaèdre. 



)) 5. Étant donné un couple de points conjugués (Ç, vj, 2', vj') de la sur- 

 face S, les équations (3), en y considérant X, Y, Z comme des coordon- 

 nées courantes, représentent la droite A associée aux deux points conjugués. 



» D'où les propositions suivantes : 



» La droite A associée à un couple de points conjugués ( P, P') de la surface 

 S est située dans lepla)i mené par le centre de la surface du second ordre perpen- 

 diculairement à la droite qui joint ce centre au milieu du segment PP'. 



Toutes (es droites A sont doublement tangentes à la suiface 0, lieu des centres 

 de courbure de la suiface du second ordre. 



» 6. La surface polaire réciproque de étant du quatrième ordre, il en 

 résulte que, par un point quelconque M de l'espace, on peut mener vingt- 

 huit droites doublement tangentes à 0; ces vingt-huit droites se composent 

 des trois groupes de droites suivantes : 



» 1° Les six normales menées du point M à la surface; 



» 2° Les dix droites A se croisant en ce point, et qui sont les associées 

 des dix couples de sommets opposés de l'hexaèdre ayant pour centre le 

 point M. 



» 3° Douze autres tangentes doubles situées sur un cône du troisième 

 ordre et formant un groupe de Sieiner. 



» 7. Les surfaces réglées, formées par les normales que l'on peut élever 

 aux différents points d'une conique située sur une surface du second ordre, 

 constituent un groupe de surfaces remarquables, étudiées d'abord j)ar 

 M. Chasles et comprises comme cas particulier dans la famille des quadri- 



