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 neur de présenter à l'Acadc'mio relativement aux normales que l'on peut 

 mener d'un point donné à une surface du second ordre. 



» Étant donnée une surface du second ordre S, les droites perpendicu- 

 laires à leur polaire relativement à S forment un complexe remarquahlc du 

 second ordre; elles rencontrent évidemment S en deux points tels que les 

 normales se croisent en un même point. 



» Considérons un triangle ABC situé sur S, et tel que les trois normales 

 en ces points se rencontrent en un mo^mc point M; les côtés du triangle sont 

 circonscrits à la conique du complexe située dans son plan, et ses sommets 

 sont situés sur la conique K suivant laquelle le plan coupe S; le plan doit 

 par conséquent couper S suivant une conique dans laquelle on puisse in- 

 scrire un triangle circonscrit à la conique du complexe, et, par suite, il 

 enveloppe une surface. Remarquons maintenant que, d'après le théorème 

 de Poucelet, ou peut construire, dans le plan, une infinité de triangles tels 

 que ABC; par suite, la surface réglée formée par les normales menées aux 

 différents points de R, ou, en me servant d'une expression déjà employée 

 par M. Mannheim, la normalie ayant pour directrice K, a une ligne triple 

 qui, puisque la normalie est du quatrième ordre, est nécessairement une. 

 droite A. 



» Il est bien clair que, puisque, des six pieds des normales que l'on peut 

 abaisser de chacun des points de A, trois décrivent la conique K, les trois 

 autres décrivent une autre conique R', et l'on voit qu'une droite telle que A 

 peut être définie par cette propriété, que le lieu des pieds des normales me- 

 nées de chacun des points de la droite à la surface se décompose en deux 

 coniques (i). 



» Je vais maintenant établir que toutes ces droites A sont doublement 

 tangentes à la surface lieu des centres de courbure de S. 



» 2. Considérons, en général, une surface quelconque 1 et sa dévelop- 

 pée ; a désignant un point quelconque de 9, je représenterai par A le point 

 correspondantde 2, c'est-à-dire celui pourlequel une des sections principales 

 a pour centre de courbure A. 



» Cela posé, soient D une droite quelconque et R le lieu des pieds des 

 normales que l'on peut, de chacun des points de D, abaisser sur la surface. 



(i) Depuis qui' nui prtniière Note a été écrite, j'ai reconnu que le théorème ci-dessus 

 énoncé est dû à M. Desboves, qui a aussi étudié les droites A dans sa Nouvelle Théorie des 

 normales à une surj^jace du second onlre. 



