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 devient OE el coïncide avec OA'; donc o! coïncide avec «, et lU avec IX, 

 et cela quel que soit le point I : c'est donc une solution étrangère, et ainsi 

 (/« — v) solutions étrangères. De même pour les coïncidences de Oa avec 

 OF; donc i [m — v) solutions étrangères. Il en reste 



2m{m — v) — 2 [m — v) = 2 (m — i) [m ~ v). 



Il y a donc 2(772 — 1) [m — v) cordes aa' passant par un point I : ce qui 

 prouve que la courbe enveloppe de ces cordes aa' est de la classe 

 2(/?2 — i) [w — v}; ce qu'il fallait démontrer. 



» Lorsque X = — i, la classe de la courbe se réduit à [m — i) [m — v), 



,1 . 1 , . sin AE sin A' E . , , 



parce que 1 expression du rapport annarnionique - — -=r '. -■ — ttt = A s écrit 

 y ^ ^ « ' ^ sinAF sin A F 



sinA'E sinAE i , . , , • irr- i» 



-: — —-^ ; -. — -- = -; de sorte qu on peut placer a luditteremment sur I un 

 sin A' F sinAF X n r r 



OU l'autre des deux côtés de l'angle qui satisfont à celte valeur — i de X. 

 Dès lors une même corde aa' se trouve deux fois dans le résultat général, 

 qu'il faut donc diviser par 2. 



» Ici les solutions étrangères s'apercevaient immédiatement; mais voici 

 comment une courbe unicursale aurait pu prévenir de leur existence, en 

 permettant d'appliquer le principe de correspondance à deux séries de 

 points pris sur la courbe elle-même. On a immédiatement, à l'égard d'un 

 point a de la courbe pris arbitrairement et d'un second a qui lui cor- 

 respondra, 



a [m — v) rt', [m — v) (m — i) a, 



u [m — 1) a', [m — i) (/« — v) «; 



donc 



Q.[m — i) [m — v). 



C'est-à-diro : Un point a étant pris sur U,„, on mènc^O, premier côté île l'angle; le second 

 coté rencontre U„, en [m — v) points «', et les droites \a' coupent U„, en [m — ''){"> — i) 

 points a. D'un point a on mène al qui coupe U,„ en (/« — i) points a; les droites Oa, fai- 

 sant les angles prescrits tiOu' , coupent U^ en [m — i) [m — v) points a qui correspondent 

 au point a. Donc il y a "3. [m — i) [m — v) points a coïncidant chacun avec un point a cor- 

 respondant ; donc 2 (/« — i) (m — v) cordes aa' passeront par le point I; donc, etc. 



» 5. J'ai dit que la facilité et même la spontanéité des solutions que 

 procure le principe de correspondance portent à traiter diverses autres ques- 

 tions relatives à la figure que l'on a sous les yeux, questions qui peuvent 

 être très-nombreuses, même dans les cas les plus restreints. La question 

 actuelle en est un exemple. Cherchons le lieu du point de renconlre des km- 



