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 gentes aux deux points a, a' de chaque corde sous-lendue aa'. On écrit aussitôt 



X, n a, ?i{tn — v) a', u, 



u, Il a', ?i{m — v) a, x, 



2n[m — y). 



C'est-à-dire : D'un pdint .'• d'une droite L on mène « tangentes j-« de U,„; aux droites OA 

 l)assant par ces points correspondent n droites OA' qui coupent U„, en n [m — v) points «' ; 

 les tangentes en ces points coupent L en n [m — -j) points u. Pareillement, un poiui u 

 donne lieu à // [m — v) points .r. Donc il y a in[m — v) points -t: co'incidant chacun avec 

 un point correspondant de u. 



» Mais il y a i[m — v) coïncidences qui sont des solutions étrangères; 

 elles sont dues aux i{m — v) points des deux droites E, F situés sur U,„ ; 

 car, pour un tel point, a' coïncide avec a et x avec «, quelle que soit la 

 droite L; ce qui est une solution élrangèie. Il reste 2{n — i)[m — v) so- 

 lutions; donc la courbe clierchée est d'ordre 2 [n — i) (m — v). 



» De même que dans le théorème précédent, si ), = — • i , la courbe est 

 de l'ordre [n — i){m — v). 



» Par la seconde méthode, on établit la correspondance entre deux 

 points a, a de la courbe U,„ ; le raisonnement devient 



a, {m — v) a', x, (m — v) (n — i) a, 

 a, X, (n — i) a', [n — i) {m — v) a, 



2(« — i) {m — v). 



C'est-à-dire : Un point a étant pris sur U,„, et la droite OA passant par ce point, la 

 droite OA' coupe U,„ en [m — v) points a' ; les tangentes en ces points coupent une droite L 

 en (m — v ) points x, d'oii l'on mène (m — -j) [n — i) tangentes .ca, La tangente en un 

 point a de Um rencontre L en un point j; d'où l'on mène (11 — i) tangentes .r«'; lesdroiles OA' 

 passant par les points de contact a' coupent U„ en [n — i)('« — v) points a. Ainsi à un 

 point (I correspondent [n — 1)('" — v) points a, et à un point a correspondent 

 {n — i) ni — v) ])oints a. Donc il y a 2(n — i) {m — v) coïncidences de a et a, et même 

 nombre de points x sur L, d'où partent deux tangentes j:a, x<i' , satisfaisant à la question; 

 donc la courbe cherchée est de l'ordre i{n — ij (/« — v). 



» Voici divers autres théorèmes, tous relatifs à la même question, dé- 

 montrés par le principe de correspondance. 



» 6. Les normales des points a rencontrent tes normales des points a' sur une 

 courbe de l'ordre 2 (m -t- n — i) (m — v). 



» 7. Les normales des points a rencontrent les tangentes des points a' sui- une 

 courbe de l'ordre (m -f- an) (m — v). 



