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 d'un point d'où l'on peut mener à quatre points fixes des droites faisant 

 un rapport anharmonique constant est une conique; et le même raison- 

 nement conduit au théorème général dans lequel les quatre points sont 

 remplacés par des courbes, savoir : 



» Le lieu d'un point d'oii ton peut mener à quatre courbes, de classes n', n", 

 n'", n", quatre tangentes faisant entre elles un rap])ort anliarmonique donné, est 

 une courbe de l'ordre 2n'n"n'"n". 



» Il faut prouver qu'il se trouve sur une droite L 'Hi'ii!' n"'n" points 

 d'où l'on peut mener quatre tangentes satisfaisant à la question. 



o • 1 ; / . sini7, c siné.c ^ , 



n Soient a, b. c, a ces quatre tangentes, et . ,: . , , = À le rapport 



^ D ' sina, a sinbyd ' ' 



anharmonique qu'elles doivent former. 



» On peut mener par un point sj n'n"n"' système des trois tangentes a, 

 /j, c des trois premières courbes U"', U"' , U" "; chaque système donne lieu 

 à une quatrième droite ùjU, qui, connue conjuguée de c, fasse avec ces 

 trois tangentes le rapport anharmonique prescrit; il suffit de chercher 

 combien de ces droites uU seront tangentes à la quatrième courbe U"". 

 Pour cela, il suffit de connaître la courbe enveloppe des droites wU, c'est- 

 à-dire combien de ces droites passent par im point I. Or les parallèles à ces 

 droites, menées par le point I, coupent L en n'n"n"' points w,, qui corres- 

 pondent ainsi à w. Que par un point oj,, pris arbitrairement sur L, on 

 mène la droite wl, et deux tangentes a, b k U"' et U"", puis une quatrième 

 droite w, K qui, conjuguée de w,!, fasse avec ces trois le rapport anharmo- 

 nique X; on aura ainsi n' n" droites w,R, à raison des n' n" couples de 

 tangentes a, b des deux courbes U"', U""; que l'on mène les ii'n"n"' tan- 

 gentes de U"' parallèles à ces n'n" droites oj,K; ces tangentes coupe- 

 ront L en n'n"ii" points w correspondant au point o),. Il existe donc 

 n'n"n"'-+- n'n"n"'=: 2n'7i"n"' coïncidences de w et w,, et, conséquemment, 

 an'nn'" droites uU passant par le point I. Ainsi la courbe enveloppe de la 

 droite ojU est de la classe 2n'n"n"'. Celte courbe a donc ^n'ri'ifn^" tan- 

 gentes communes avec la courbe U"'''. Donc il existe sin* la droite L 

 2n'n"/i"'n''' points, d'où partent quatre tangentes des quatre courbes 

 proposées ayant le rapport anharmonique donné : ce qu'il fallait dé- 

 montrer. 



» Chacune des quatre courbes peut se réduire à un point; on trouve 

 alors la section conique. 



» 30. On peut aussi se proposer de chercher le lieu d'un point d'où l'on 

 mènerait plusieurs tangentes à une même courbe. Alors ce sont autant de 



