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MÉMOIRES PRÉSENTÉS. 



ANALYSE. — Sur la réduction des formes bilinéaires. 

 Note de M. C. Jordan, 



(Commissaires : MM. Hermite, Serret). 



« M. Weierstrass a publié, dans les Monalsberichle de 1868, un Mémoire 

 important sur la réduction simultanée de deux formes bilinéaires P et Q. 

 Il y résout complètement cette question, sauf dans le cas, signalé et exclu 

 par lui dès le début de son analyse, où le déterminant (P, Q) de la forme 

 pV 4- ^Q est identiquement nul, quelles que soient les constantes arbi- 

 traires p et q. 



» Le désir de combler cette lacune, et en même temps de fournir un 

 procédé de réduction plus» simple que la méthode synthétique adoptée dans 

 le Mémoire cité, nous a déterminé à faire imprimer, dans le Journal de 

 M. Liouville, un travail sur le mém.e sujet, datant du mois d'aoîit 1873. Le 

 résultat en a été consigné d'avance dans une Note insérée au Compte rendu 

 du 22 décembre 1873. 



)) Aussitôt après la publication de cette Note, M. Kronecker s'est em- 

 pressé de faire connaître qu'il possède, depuis quelques mois, un procédé 

 de ce genre, et l'a exposé dans le Monalsberichle de janvier 1874- Cette 

 méthode et la nôtre reposent sur des principes analogues; mais celle de 

 M. Kronecker a plus de généralité. Il résout, en effet, te problème de ré- 

 duction pour les formes quadratiques, mais en ayant soin de conduire les 

 opérations de telle sorte que les résultats trouvés restent applicables aux 

 formes bilinéaires. Partant au contraire de ces dernières formes, dont nous 

 nous occupions exclusivement, nous avons choisi le mode d'exposition le 

 plus simple, sans lui donner le caractère de symétrie nécessaire pour em- 

 brasser le cas des formes quadratiques (*). 



(*) Il est d'ailleurs indifférent, pourvu qu'on opère convenablement, de prendre pour 

 point de départ les formes quadratiques ou les formes bilinéaires. On peut, en effet, pré- 

 senter la réduction de ces dernières formes de telle façon, que la substitution qui sert à 

 l'opérer soit symétrique, par ra])port aux deux systèmes de variables, si les formes consi- 

 dérées P et Q sont toutes deux symétriques (ou toutes deux gauches). 



Nous ferons observer en outre qu'on gafjne beaucoup eu simplicité et en élégance en opé- 

 rant symétriquement sur les formes à réduire. Tout le raisonnement tient alors en quelques 

 lignes. On obtient immédiatement les faisceaux élémentaires, tandis que M. Kronecker a besoin, 



