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» L'illustre gromètre «le Berlin a bien voulu consacrer la fin de son Mt'- 

 moire à une critir[nf' détHillée de notre travail. Il fait observer tout d'a- 

 bord que le prob'.oine de la réduction d'une expression à sa forme cano- 

 nique est indéterminé de sa nature; que c'est là une notion sans consistance 

 objective; que la simplicité d'une réduite ne doit pas se mesurer à sa briè- 

 veté, mais à des caractères pjus intimes; qu'enfin ces réduites doivent être 

 le nioven et non le but de la recherche. 



» Tous ces principes sont assiu-ément incontestables; mais, pour les ap- 

 pliquer nu cas actuel, cette propriété de nos réduites, d'être formées d'une 

 «omme de fonctions distinctes, dont chacune ne contient qu'une partie des 

 varial)Ies, leur imprimait, ce nous semble, un caractère assez net pour satis- 

 faire les plus difficiles. M. Kronecker aurait poutant désiré nous voir jus- 

 tifier a posteriori l'opportunité de celte réduction, en traitant par ce moyen 

 le problème de l'équivalence des systèmes de deux formes; mais nous ne 

 l'aurions fait que si nous avions voulu écrire un traité complet sur ce sujet; 

 car cette question avait été résolue pour le cas où [P, Q] = o, tant par 

 M. Weiersirass dans le Mémoire cité, que par nous-mème [Tiailt des Sub- 

 stitutions), et le cas où [P, Q] = o ne nous semblait offrir aucune difficulté 

 nouvelle. Au fond, notre éminent critique ne semble pas éloigné de cette 

 opinion; car, tout on signalant dans son Mémoire cette lacune de notre 

 Note, il n'a pas jugé utile d'entrer dans aucun développement pour y sup- 

 pléer. S'il avait porté son attention sur cette question, il aurait vu tout de 

 suite que, s'il y a parfois indétermination (*) dans la substitution à em- 

 ployer pour réduire un système de deux formes, il n'y en a aucune dans 

 les expressions des réduites. Il aurait alors remplacé la règle A qti'il donne 

 à la page 5 de son Mémoire de 18747 et dont il vient de reconnaître l'insuf- 

 fisance, par l'énoncé suivant : Pour que deux systèmes de deux formes soient 

 i(juiv(deiits, il faut et il suffit que leurs réduites soient identiques. 



» L'illustre géomètre se propose ensuite d'établir que nos réduites 



dans certains cas, d'une réduction iillérienre. Enfin on reconnaît, chemin faisant, de la ma- 

 nière la plus simple, que la forme des réduites est complètement déterminée, et Ton trouve 

 ces substitutions qui transforment les réduites en elle-même. 



(*■) Cette indétermination ne se présente que lorsque plusieurs des réduites partielles sont 

 semblables. Ainsi les deux formes réduites .ri- -|- x'j)', ^.i-, -j-^'.r'^ restent réduites si l'on 

 opère à la fois une substitution linéaire quelconque sur y, y' et la sidjstitution inverse sur 

 X, x et sur Xt, x\ . Pour les formes quadratiques x, Xj-t- x\ -{- x\ .ï\ + x'^' et x-,x,+ r\x\, 

 on pourra opérer une substitution orthogonale quelcoii(|ue sur les trois systèmes de varia- 

 bles Xix\ , Xj x',, .rj jTj ; et de même en général. 



