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 rallèle avec chaque méridien seront 



X = R tansL et r — -^• 



° '^ cosL 



)) Ces deux valeurs de x et de y permetiront de tracer le canevas des 

 quatre faces équatoriales. La valeur de x donne, en outre, les rayons des 

 circonférences représentant les parallèles sur les deux faces polaires et la 

 distance au pôle fixant la projection gnomonique, sur ces mêmes faces po- 

 laires, d'un point quelconque de la sphère. 



» Au point de vue pratique, on remarquera que les faces polaires « et |3 

 n'ont exigé que 54 calculs, établissant les rayons des circonférences repré- 

 sentant les parallèles, depuis 36 degrés lat. jusqu'à 89 degrés lat. Pour les 

 faces y, 3, e, Ç, il a suffi de 2000 calculs environ, car ces quatre faces sont 

 respectivement symétriques, et, de plus, une même face est composée de 

 quatre parties symétriques. Chacun de ces 2000 calculs est court et simple, 

 parce qu'il ne demande la connaissance d'aucun angle auxiliaire. 



» Les formules relatives à la carte gnomonique du pentagone européen, 

 projeté sur l'horizon de son centre, étaient forcément longues et com- 

 pliquées de valeurs d'angles auxiliaires. J'ai exécuté, pour cette pro- 

 jection, l'iooo calculs, de sorte que la projection de la surface terrestre 

 tout entière sur les douze faces du dodécaèdre régulier aurait exigé 

 i3ooo X 6 = ■ySooo calculs, et les nécessités du dessin auraient encore 

 augmenté ce chiffre si considérable. 



» La projection sur l'octaèdre aurait exigé, pour obtenir l'intersec- 

 tion de chaque parallèle avec chaque méridien, de degré en degré, 

 89 X 44 = 4016 calculs. 



» On voit donc que tout l'avantage de la promptitude et de la simplicité 

 revient à la projection sur le cube. En outre, cette projection donne des 

 feuilles carrées et égales, plus commodes au point de vue du maniement et 

 de la facilité des constructions géométriques à exécuter sur ces cartes. Ces 

 avantages seront plus clairement démontrés, quand nous chercherons à 

 résoudre divers problèmes géographiques , d'un usage fréquent et dont 

 nous nous bornerons à donner l'énoncé, 



» Il est un autre ordre d'avantages, commiui à toutes les projections 

 gnomiques en général. La géométrie de la sphère s'opère avec des grands 

 cercles; or, tout grand cercle de la sphère étant représenté par une ligne 

 droite, et réciproquement, on pourra résoudre les problèmes de géométrie 

 géographique, soit graphiquement au moyen de la règle et de l'équerre, soit 

 mathématiquement en faisant usage des formules algébriques de l'analyse 



