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(S,) la nouvelle position de (S). Je suppose que ces deux surfaces soient 

 tangentes entre elles, en un point c. La normale en c à (S) rencontre D au 

 point h. De ce point b abaissons des normales sur (S); l'une he, qui a 

 son pied en e sur (S), est, je suppose, celle qui, après la rotation, vient 

 en hc. Puisque be en tournant autour de D vient en èc, c'est que be = bc 

 et que la droite D est dans un plan perpendiculaire sur le milieu de ec. 



» Si nous considérons maintenant un déplacement infiniment petit de 

 (S\ les points e et c sont infiniment voisins et, comme les normales en ces 

 points se rencontrent sur D, l'élément de ec appartient à une ligne de cour- 

 bure de (S) et le point b est un centre de courbure principal. Le plan des 

 droites be, hc est le plan d'une section principale de (S) et il est normal 

 en Z> à la développée de cette surface. La droite D, qui doit être dans un 

 plan perpendiculaire à celui-ci et mené par la normale qui contient è, est 

 donc, dans le plan de la section principale, tangente en è à la développée de 

 (S). Nous avons ainsi la réponse à la question posée précédemment. 



» Autrement. Lorsqu'une surface tourne autour d'une droite, elle a pour 

 enveloppe luie surface de révolution qu'elle louche tout le long de la ca- 

 racléristique. Cette caractéristique peut être considérée alors comme la direc- 

 trice d'une normalie commune à ces deux surfaces. Si la caractéristique a 

 un point double m, les deux surfaces à partir de ce point ont deux nor- 

 malies communes : elles sont donc osculatrices entre elles au point m. 



» Pour la surface de révolution, l'un des centres de courbure principaux 

 est au point de rencontre de l'axe D et de la normale issue du point ni, et 

 le plan de l'une des sections principales est le ])lan méridien passant en m. 

 Il en est alors de même de la surface mobile qui lui est osculatrice en m. 

 Nous voyons donc que : 



B L'axe de rotation dune surface mobile, laquelle tout lie son enveloppe en 

 un point double de la caractéristique de cette enveloppe, est tangent à la déve- 

 loppée de la surface mobile. 



» Ce dernier mode de démonstration indique bien clairement la marche 

 à suivre pour trouver la situation des axes de rotation pour lesquels la ca- 

 ractéristique de l'enveloppe d'une surface mobile possède un point mul- 

 tiple. 



» Réciproquement, comme on le voit facilement, si un axe de rotation 

 est tangent à la développée d'une surface mobile, cette surface touche son 

 enveloppe en un point double de la caractéristique de cette enveloppe. 



» Dans le cas particulier où cette surface mobile est une surface du 

 deuxième ordre tournant autour d'une droite A, la caractéristique secom- 



