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MÉMOIRES PRÉSENTÉS. 



ANALYSE. — Sur une application de la lltéorie des substitutions aux équations 

 différentielles linéaires; par M. C. Jordan. 



(Commissaires: MM. Hermite, Puisenx.) 

 (I L'équation différentielle linéaire 



(l"r d"~'y 



où p, p,,. ■ ., p,, sont des fonctions monodrotnes de .r, admet une infinité 

 d'intégrales, correspondant à tons les systèmes (le valeurs que l'on peut 

 assigner à y et à ses n — i premières dérivées, pour la valeur initiale .r = .x\. 

 On sait d'ailleurs qu'en désignant par }',-,. ■■, }'„, «intégrales parlicidières 

 convenablement choisies, les autres seront données par la formule 



7 = c,jr, + ... + c,j„, 



où C,,. . ., C„ sont des constantes. 



-) Faisons varier x suivant une loi quelconque, en évitant les valeurs 

 singulières qui rendent infinies les fonctions^,,.. ., /;„, et suivons les va- 

 riations de l'intégrale j-, et de ses dérivées, lesquelles seront parfaitement 

 déterminées. I orsque x reviendra à sa valeur initiale x^, y, et ses dérivées 

 pourront avoir changé de valeur, de telle sorte qu'on auia passé de l'inté- 

 grale initiale^", à une antre intégrale de la forme «, j, -h. . .-h fi„j„. De 

 même, on passera de l'intégrale j-., à une autre intégrale de la forme 

 b,) , +. ..+ b„j„, 



» L'altération produite sur le système des intégrales de P pourra donc 

 être représentée par la suhstitiitiou linéaire 



A = 



j2 />,7-, -f-...+ ^„r« 



» Si maintenant ou modifie la loi de variation de x, on obtiendra un 

 système de substitutions analogues à A, et formant évidemment un groupe, 

 ainsi que l'a signalé M. Fuchs. 



» L'étude de ce groupe est intimement liée à celle do l'équation diffé- 

 rentielle P ; et l'on aura, ici comme pour les équations .di^éhriques, trois 

 catégories de prohlèmes à résoudre. 



c. R., 187/,, 1" Semestre. (T. LXXVlll, i\o H.) 9^ 



