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» i" L'équation étant donnée", déterminer ^on groupe. Cette question 

 est du ressort du Calcul intégral. 



1) 2" Trouver les conditions auxquelles le groupe doit satisfaire , pour 

 que l'équation jouisse de telle ou telle propriété. 



» 3" I.e groupe étant connu, vérifier s'il satisfait aux conditions requises. 

 Cette dernière question ne dépend plus que de la théorie des substitutions. 



» Quant aux problèmes de la seconde sorte, ils seront en général faciles 

 à résoudre. 



» Ainsi, pour que les intégrales de l'équation P ^ o satisfassent à des 

 équations algébriques ayant pour coefficients des fonctions synectiques 

 de X, il sera nécessaire et suffisant que son groupe G ne contienne qu'un 

 nombre limité de substitutions. 



» Pour que l'équation P = o ait une intégrale commune avec une équa- 

 tion différentielle linéaire Q = o, d'ordre <; m, on voit immédiatement (*) 

 qu'il sera nécessaire et suffisant que son groupe G ne soit pas primaire ; c'est- 

 à-dire qu'on pourra déterminer des fonctions linéaires X,,. . ., X,„ des va- 

 riables j-, ,. . ., j,„ en nombre inférieur à celui de ces variables, et jouis- 

 sant de la propriété que chaque substitution de G les remplace par des 

 fonctions linéaires de X,,. . ., X^. 



» Nous nous trouvons ainsi conduit à la question suivante : 



» Les substitutions A, B, C,... qui s'opèrent sur les intégrales autour de 

 chaque point critique étant supposées connues, s'assurer si le groupe G 

 dérivé de ces substitutions est primaire ou non, et, dans ce dernier cas, 

 déterminer les fonctions X|,...,X,„. 



» Un premier moyen de solution s'offre immédiatement à l'esprit. On 

 n'a qu'à prendre successivement pour m les valeurs i, 2,..., m — i. Pour 

 chaque valeur de m, on posera 



a,,|3,,..., a,„, /5m, .,. étant des coefficients indéterminés. Les substitu- 

 tions A,B, C,... étant connues, on aura l'expression des fonctions de 

 jKi---iJm qu'elles font succéder à X,,..., X,„. On égalera ces fonctions à 

 des fonctions linéaires de Xi,...,Xbi à coefficients indéterminés. Égalant 

 séparément à zéro les coefficients des diverses variables j-,,..., y,„ on 

 obtiendra une série d'équations de condition, auxquelles doivent satisfaire 

 les indéterminées introduites. On vérifiera si elles sont compatibles, et l'on 

 en tirera la valeur des indéterminées. 



(*) FaOBENins, Journal de M. Borehardl, t. LXXVI. 



