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GÉOMÉTRIE. — Sur l'application de la lliéorie des formes binaires 

 à la Géométrie plane. Mémoire de M. Laguerre. (Extrait par 

 l'auteur.) 



(Conunissaires : MM. Henuile, Serret, Puiseux.) 



M 1. Dans ce Mémoire, je considère, pour simplifier le langage, les 

 figures comme rapportées à un système de coordonnées rectilignes x et j; 

 la variable z est toujours supposée égale à l'unité, et je ne l'introcTuis que 

 quand cela est utile pour la symétrie des formules. 



» Cela posé, oj = ux + vj" -{- iv z = o étant l'équation d'une droite, 

 si les coefficients h, c et w sont liés entre eux par luie relation homogène 

 et du degré «, F(«, (<, u') — o , la droite enveloppe une coiu-be de 

 n''"" classe K. 



» Si l'on pose 



F(p., — X, X/ ~ p.x) = U(X, p.), 



l'équation U(X, p.) = o donne, pour un système de valeurs de x et dej', 

 les coefficients angidaires des diverses tangentes que l'on peut mener de ce 

 point à la courbe. On peut la désigner sous le nom d'éijuation mixte de 

 la courbe, et, dans un Mémoire (*) antérieur, j'ai déjà exposé les consé- 

 quences les plus élémentaires qui résultent de cette notion. 



» Mais, pour les développer utilement, plusieurs problèmes doivent 

 être résolus, et en particidier le suivant : Déterminer les équations mixtes 

 des courbes que l'on obtient en égalant à zéro les divers covariants de F. 



» Tout d'abord, on aura à considérer les diverses polaires des droites 

 du plan relativement à R, tant à cause de leur simplicité que du rôle prin- 

 cipal qu'elles jouent dans celte théorie, puis la hessienne de R. 



» Eu désignant respectivement par W = o. Il := o et sr = o les équa- 

 tions mixtes de la hessienne, de la première et de la seconde polaire de la 

 droite m = o, on obtient la relation suivante 



r VV = 



n- 



(*) Mriiioiie lie Gtomctric (inaljli(jac {Journal de Mathcmatiques, 2" série, t. XVII). 

 (**) Suivant un usage habituel, étant donnée une fonction quelconque Z de ). et de f/., et de 



I d'Z 



deî5ré«,jei,oseZ, = ^;-^, Z„ = ^^^^^__^ ^^^, 



