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» Cette forme remarquable du polynôme W est susceptible d'uii grand 

 nombre d'applications, et incmc sait.^ qu'il soit iiércssnin: de drltriuiner les 

 coefficients de 11 et de zs. En particidier, je citerai les ileux propositions sui- 

 vantes, rpii jouent un rôle important dans la théorie des courbes de troi- 

 sième et de quatrième classe. 



» i" Si deux courbes de troisicnjc classe K et K', ayant respectivement 

 pour équation nii\te 



{a, h, c, d) ()., f;.;' = o et [a', h', c\ ci'] (), iJ.f ^ o, 



ont les mêmes tangentes de rebroussement, le polynôme 



ad'-3l>c'-+ "icb'-fla' 



est identiquement nul. 



» 1° Étant donnée une courbe de quatrième classe, dont l'équation 



mixte soit 



U -. (rt, h, c, d, e) (X, iJ.)'' = o, 



désignons par (A, B, C, 1), E, F, G) [l, p.)' le covariant sextique de U, et 

 considérons une courbe quelconque de sixième classe tangente aux vingt- 

 quatre tangentes de rebroussement de la première courbe. L'équation 

 mixte de la courbe de sixième classe étant 



(«', b',c',d',e',f',s' {l,[j.y--^o, 



le polynôme Ag' — 6Bf'+ i5Ce - 2oDf/'-f- i5Ec'— GFb' -h Ga' est iden- 

 tiquement nul. 



» 2. Il est néanmoins nécessaire d'obtenir la valeur des coefficients 

 de n ; on pourrait les exprimer facilement, mais par des formules dénuées 

 de symétrie, au moyen des dérivées partielles des coefficients de U. 



» Il est préférable de suivre une autre marche, et, à cet égard, je distin- 

 guerai deux cas suivant que la courbe est de classe paire 2n ou de classe 

 impaire 2n + i. Dans le premier cas, on considérera « couples de variables 

 ï, ij, ï', i)',... fonctions de n invariants de U et de leurs dérivées partielles; 

 en représentant par A le discriminant de U, et par V, V, V",... n de ses 

 covarianls du degré -xn convenablement choisis, W sera donné par une 

 expression de la forme 



AW = (ïV, + i)V,. + (ï'V',+ i)',V'J+.... 

 Si la courbe est de classe (« 4- i , W s'exprimera également au moyen de 



