( l'fi ) 



n émanants et du produit d'un contrevariant de F par un de ses covariants 

 du degré 2?i + i . 



M Pour éclaircir ce qui précède, je donne ici les résultats pour les 

 courbes de troisième et de quatrième classe. 



M 1° Soient U = o l'équation mixte d'une courbe de troisième classe; 

 A son discriminant et II son hessien. Soit de plus le cayleyen de F (c'est- 

 à-dire le contrevariant de F qui, égalé à zéro, représente la cayleyenne de 

 la courbe). Fn posant 



. w f/A . w tl^ 



ï= — vAH -— ■ i}=i<A — ^--, 

 o dy O dx 



on aura 



An :== ïU, + ijUo- 2W0H. 



» 2° Soient U = o l'équation mixte d'une courbe de quatrième classe, 

 A son discriminant, H son hessien, S son invariant quadratique et T son 

 invariant cubique. 



An =^ ïU, ^^ i)Uo + ^ (ï'H, + ij'Ho). 



» 3. Le cayleyen d'une courbe de n'""^ classe se déduit facilement de 

 la proposition suivante, dans l'énoncé de laquelle j'ai conservé toutes les 

 notations précédentes : 



» Le résultant de H et dujacobien de \] et de^ est w^'"~^'A0. 



» En l'appliquant aux courbes de quatrième classe, on obtient cette 

 relation remarquable 



où p et q désignent des invariants de U de l'ordre 1 8 et de l'ordre 20, etT 

 l'invariant du troisième ordre. 



» Une formule de M. Salmon indique que, dans ce cas, la cayleyenne 

 a 126 points doubles; l'équation précédente montre qu'ds se réduisent à 

 21 pointsquadruples. Ces points ô jouissent delà propriété que les tangentes, 

 menées de chacun d'eu\ à la courbe, ont leurs points de contact en ligne 

 droite. On peut remarquer aussi que l'équation U(x', !9')=:o représente 



