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 la courbe du trente-sixième ordre, jouissant de la propriété que, des tan- 

 gentes menées d'un de ses points à la courbe, trois sont en ligne droite (*). 



» 4. r/introdnctinn fies polynômes r, ^, i', i)', . . . se justifie par cette 

 considération importante, que l'on n'a jamais à traiter que des invariants 

 ou covariants de U; on pent donc (quoique ce soit complètement fictif) 

 supposer la forme U réduite à sa forme canonique. 



» Ainsi l'on pourra prendre pour équations mixtes des courbes de troi- 

 sième et de quatrième classe les équations réduites 



X' + p,^ = o, X* 4- G/nX-p.- + /j.' = o. 



De même, pour la surface de troisième classe (car tout ce que j'ai dit dans 

 cette Note s'applique aux surf;ices algébriques), on pourra prendre pour 

 équation mixte de la surface l'équation très-simple 



X^ + fx' + v'' +- Gmlijy = o. 



» Dans le présent Mémoire, je n'ai exposé que les points principaux 

 de la théorie; dans d'autres Mémoires spéciaux, j'en développerai les 

 conséquences relativement aux courbes de troisième et de quatrième classe, 

 ainsi que pour les surfaces de troisième classe. » 



(*) En général, si la polaire d'une droite se décompose en un point P et une courbe 

 résiduelle, le point P est un point 2 (« — i) tuple de la cayleyenne. 



Si d'un point (x, r) on mène des tangentes à la courbe de quatrième classe K, l'équation 

 delà tangente menée en ce point à la conique qui le contient, ainsi que les quatre points 

 de contact, est 



^(-S--S)-(-'^;-"f)-(-S-"f)=- 



cette même équation, si l'on y regarde ?, r,, Ç comme des paramètres arbitraires, et x, y, z 

 comme les coordonnées courantes, représente la courbe la plus générale du neuvième ordre, 

 que l'on peut mener par les 5?. points singuliers de la courbe. 



L'éi]uation de la courbe la plus générale du huitième ordre, que l'on peut mener par les 

 28 points doubles et les 21 points à, est 



