( 833 ) 

 pltis de détails dans un prochain travail, et nous terminerons celte Note en 

 donnant, à titre d'exeni[)le, quelques théorèmes sur les systèmes généraux 

 de courbes. 



» I. Etant donnés deux systèmes (a, v) et {[i! , v') de courbes olrjébriques ou 

 transcendantes, et un segment ej, le lieu des points tels, que les tangentes à deux 

 courbes de l'un et l'autre système divisent le segment eJ dans un rapport antuir- 

 monifpie donné, est une courbe de l'ordre {^fJ-lJ- -+- p-v' + P-'v), fp'i ^ deux 

 points multiples d'ordre p.ij.' en e etj. 



» Dans le cas où les points e et/ sont les deux points circulaires à l'in- 

 fini, le théorème I prend la forme suivante : 



» II. Étant donnés deux systèmes (p., v) et {u! , v'), le lieu des points par cha- 

 cun desquels passent deux courbes de l'un et de l'autre système, se coupant sous 

 un angle donné de grandeur et de sens de rotation, est une courbe de l'ordre 

 i^lJ-'J-' -+- p.v' + l'J-'v), qui a pour points multiples d 'ordre mx' les deux points 

 circulaires à l'infini. 



M On peut aussi supposer dans le théorème I que les points e et J 

 s'éloignent à l'infini dans deux directions rectangulaires, et que le rapport 

 anharmonique soit égal à — i. Il en résulte le théorème suivant : 



» III. Etant donnés deux systèmes {p., v) et {p', v'), le lieu des points par 

 chacun desquels passent deux courbes de Cun et l'autre système se coupant sous 

 un angle dont la bissectrice est donnée de direction, est une courbe de l'ordre 

 ( 2 aa' 4- f/.v' + p.'v), qui a deux points multiples d'ordre p.p' à l'infini, l'un 

 dans la direction de la bissectrice et l^ autre dans la direction perpendiculaire. 



» Les points e et y^ étant quelconques, si l'on suppose le rapport anhar- 

 monique égal à l'unité, on voit immédiatement que la droite cj devient 

 partie intégrante du lien avec un degré de nudiiplicité égal à p.p.' . En fai- 

 sant abstraction de celte droite, le théorème I devient le suivant : 



)) IV^. Etant donnés deux systèmes [p., v) et [p.', v') de courbes algébriques 

 ou transcendantes, le lieu des points de contact de deux courbes de l un et l'autre 

 système est une courbe de l'ordre {u.tj.' -+- p.v' + p.' v ). 



» Les théorèmes précédents, d'iuie grande généralité, nous semblent 

 nouveaux, même pour le cas des systèmes algébriques. 



» On en déduit de nombreuses conséquences. Nous signalerons les 

 suivantes : 



» Si l'on suppose dans I, If, III et IV que le système (p/, v') soit un 

 faisceau de courbes du m"'"'' ordre, sans singularités, ou voit facilement, à 



C. R., i87,i, l" Scmçitrc. (T. LX.XVlll.^N" 12.) ' "*^ 



