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cause (le a'= i, v'= 2(/?z — i), que les lieux I, II et III sont alors du de- 

 gré [zmp. -h v), et ont pour points multiples d'ordre p. les m- points fonda- 

 mentaux du faisceau. Le degré du lieu IV se réduit à [mij. + v). 



» Considérons une courbe U du m"^'"" ordre, faisant partie du faisceau. 

 Elle coupe les lieux I, II et III en m[in p. -\- v) points, et le lieu IV en 

 [(/M — i)/jL -f- v] points, en dehors des nr points fondamentaux du faisceau. 

 On obtient ainsi la généralisation, dans le cas des systèmes de courbes trans- 

 cendantes, de quatre théorèmes déjà connus dans le cas des systèmes algé- 

 briques (i). 



M Nous énoncerons les trois plus remarquables : 



» 1° Etant donnés un système [p., v) et une courbe U algébrique, du m''''"^ 

 ordre, sans singularités, il existe ni[mp. -f- v) courbes du sjstèrne, qui coupent U 

 sous un angle donné de grandeur et de sens de i^otalion. 



» 2° // existe m[iniJ. + v) courbes du système coupant U sous un angle dont 

 la bissectrice est donnée de direction. 



» 3° // existe m[{m — i)p. + v] courbes du système qui sont tangentes à U. 



» Je citerai encore le théorème suivant, qui comprend le théorème I 

 comme cas particulier : 



» V. Etant donnés quatre sj'stèmes généraux de courbes algébriques ou 

 transcendantes (p.,, v, ), [p^, Va), [p-z, v,), [p.^, v^), le lieu des points en lesquels 

 se coupent, suivant un rapport anharmonique donné, quatre courbes appartenant 

 chacune à chacun des systèmes, est de l'ordre 



2p,p.2p.3[J-i +fJ.ofJ.3U.4V, -i-p.ip.,p,V. -h [X,p,lUV3 -i- p.,p.ip.^V,. 



» En remarquant que les tangentes d'une courbe de n'^"" classe forment 

 un système, dont les caractéristiques sont p. = ?i, v = o, on obtient, comme 

 conséquence du théorème qui précède, le suivant qui a été comnumiqué, 

 par M. Chasles, à la séance du 2 mars dernier (t. LXXVIII, p. 584). 



» Le lieu d'un point doit ion peut mener à quatre courbes, de classes n' , n", 

 11" , 7/", quatre tangentes ayant un rapport anharmonique donné, est une courbe 

 de l'ordre 2 «'«"«"«". 



» Je suis arrivé, pour les systèmes de surfaces algébriques ou transcen- 

 dantes, à des résultats semblables à ceux que je viens d'exposer brièvement 

 pour les systèmes de courbes. Je compte en faire l'objet d'une prochaine 

 Note. » 



(i) Voir, à ce sujet, Comptes rendus, t.. LVIII, 1864, deux Communications de M. Chasles 

 p. 297 et 425; une Note de M. de Jonquières, p. 535. 



