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GÉOMÉTRIE. — Deux théorèmes nouveaux sur In surface de l'onde; par 

 M. A. Maxxheim. (Extrait d'une Lettre adressée à M. O. Bonnet.) 



« C'est dans une Lettre (i), que j'ai eu l'honneur de vous écrire 



en 1867, que j'ai fait connaître une construction géométrique pour un point 

 delà surface de l'onde, des centres de courbure principaux et des directions des 

 lignes de courbures de cette surface. 



» Puisqu'aujourd'liui aussi il s'agit de la surface de l'onde, permettez- 

 moi de m'adrcsser encore à vous, en vous priant, comme la première fois, 

 de vouloir bien communiquera l'Académie des résultats que je crois nou- 

 veaux. 



» Prenons un ellipsoïde. Du centre o de cette surface menons un plan 

 quelconque. Élevons du centre o une perpendiculaire à ce plan, et por- 

 tons sur cette droite, à partir de o, des longueurs inversement proportion- 

 nelles aux axes de la section faite dans l'ellipsoïde par le plan sécant. Des 

 extrémités des segments ainsi obtenus menons des plans parallèles à ce 

 plan sécant. 



» Tous les plans ainsi construits et que l'on obtient en faisant varier le 

 plan sécant sont tangents à la surface de l'onde. Celte définition de la sur- 

 face de l'onde, qui se présente tout d'abord en Optique, est celle dont je 

 vais faire usage aujourd'hui. 



» Théorème I. — On mène à un ellipsoïde et à la surface de l'onde qui en 

 dérive des plans tangents parallèles entre eux. 



n Les diamètres de ces surfaces qui passent par les points de contact de ces 

 plans et le diamètre perpendiculaire à ces plans tangents rencontrent l'un quel- 

 conque de ces plans en quatre points qui sont les sommets d'un rectangle ; par 

 suite, ces points sont sur une circonférence de cercle. 



» Le diamètre perpendiculaire à ces jtlans et le diamètre passant par le point 

 de contact du plan tangent à l'ellipsoide contiennent les extrémités d'un dia- 

 mètre de cette circonférence. 



» Les traces de ces quatre diamètres sur un plan perpendiculaire au diamètre 

 qui contient le point de contact du plan tangent à l'ellipsoïde sont aussi sur une 

 circonférence de cercle. 



n Lorsqu'on mène en particulier un plan tangent à la surface de l'onde 

 parallèlement au plan d'une sectioncircidairede l'ellipsoide, ceplan tangent 

 est un plan singulier qui touche la surface de l'onde suivant une ligne. 



(i) Voir Comptes rendus, séance du 1 1 février 1867. 



