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GÉOMÉTRIE. — 5»r les polygones inscrits on circonscrils à des courbes, 



par M. CiiASLES. 



« 1. Cette théorie des polygones a occupé les géomètres depuis fort 

 longtemps : les premières traces s'en trouvent dans les Porismes d'Euclide, 

 d'après R. Simson, et dansPappus; mais, bien qu'elle donne lieu à des 

 questions variées, on y a toujours procédé assez lentement, en n'y prenant 

 que les cas les plus simples. Newton, le premier, donna trois ou quatre 

 propositions dans son Traité des courbes du troisième ordre et dans un lemme 

 du livre des Principes. Bientôt après, Braikenridge et surtout Maclaurin, 

 dans sa Géométrie organicpie d'abord (en 17 19), puis dans les Transactions 

 philosophiques de la Société rojale de Londres, de 1735, étendirent le sujet. 

 Puis une de ces questions fixa l'attention de divers géomètres, savoir : 

 l'inscription, dans une conique, d'un polygone dont les côtés passent par 

 des points donnés; question réputée alors fort difficile (i), résolue par Cas- 

 tillon, et dont Lagrange aussi donna une solution analytique dans les 

 Mémoires de i Académie de Berlin, de 1776. Il s'agissait toujours, dans ces 

 questions, des lieux géométriques de certains sommets des polygones. Au 

 commencement de ce siècle, Erianchon introduisit, le premier, la question 

 relative aux courbes enveloppes de certains côtés; mais c'est~surtout à 

 M. Poncelet que l'on est redevable d'une extension considérable dans ces 

 recherches, qui l'occupaient dès 181 3, et qu'il a développées dans son 

 grand Traité des propriétés projectives des figures, 1 822. 



» Le principe de correspondance s'applique avec une très-grande faci- 

 lité à la plupart de ces questions, qu'il permet de généraliser, principale- 

 ment celles où les sommets des polygones doivent se trouver sur des 

 droites, de même que celles où les côtés des polygones pivotent autour 

 de points fixes, et celles aussi où entrent des angles de grandeurs données, 

 comme dans les théorèmes de Nevi^ton et de Maclaurin. Le principe de 

 correspondance permet de substituer, sans plus de difficulté, des courbes, 

 d'ordre ou de classe quelconques, aux droites et aux points, et des rapports 

 anharmoniques aux angles de grandeur constante. Cette facilité induit 

 même à traiter diverses autres questions qui se rapportent à la figure 

 que l'on a sous les yeux. 



» Je me propose de donner quelques exemples de cette facilité de dé- 

 monstration et d'extension des théorèmes. 



(i) Montiicla; Histoire des Mathcmatiqucs, t. III, p. i3. 



