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» 2. TiiÉORiîME I. — Lorsque tous les cùlcs d'un poljyjoiie ahci]...'jy doivent 

 être tangents à des courbes respectives de élusses n', n", n'",..., et fjue tousses 

 sotnuiets a, b, . . . , moins le dernier, doivent (/lisser sur des courbes d ordre 

 m,, m.,,..., le sommet libre w décrit une courbe de l'ordrezm, nio... n'n"n '.... 



» Soit, par exemple, un quadrilatère, la démonstration étant la même 

 pour un polygone d'un tout autre nombre de côtés. On pose 



^, n' ui, n" m.,n'"ni3?i^'' u; 

 Il , n^" m 3 ?i"' ni , n" ni , 7i' x ; 



2mfmo nii ?i'n"/i"'n". 



» Tel est le nombre des quadrilatères qui aurout leur sommet w sur 

 une droite L quelconque. Le théorème est donc démontré. 



» 3. Corollaire. — Cette courbe d'ordre 2m, m^m^ii' ififii^" rencontre une 

 quatrième courbe quelconque d'ordre m^ en 2 /«, m.m^nii, «'«"n"'/i'' points. 

 On conclut donc du théorème général celui-ci : 



» Théorème II. — Le nombre des polygones de p côtés qui peuvent avoir 

 tous leurs sommets consécutijs sur des courbes d'ordre m,, m,, m,,... et leurs côtés 

 consécutifs tangents à des couibes de classes n', n", n'",... est 2m, m2...n'n".... 



» Il est à remarquer, d'après ce résultat, que l'ordre dans lequel on 

 peut affecter à chaque sommet les courbes d'ordres m,, mn,... et à chaque 

 côté les courbes de classes 71', ii", ... est indifférent, et que l'ordre de la 

 courbe décrite, bien que cette courbe soit différente, reste le même. 



» 4. Cas particidiers. — Lorsque toutes les courbes de classes «', re", . . . 

 ont une tangente commune, alors, les autres conditions restant les mêmes, 

 dans le théorème I , le lieu du sommet libre est une courbe de l'ordre 

 m, mo. . .(2n'n"n"' . . — i). 



M En effet, il existe alors ?«, ui^nt^ solutions étrangères; car, prenant le 

 point X de L sur la tangente commune, on trouve m, ;»j nij points u coïn- 

 cidant avec X. U reste donc 



2 nl^ lu., ni.^ n' n"ifii" — m, m., m^ =^ ni^ m., ni^ ( o.n'n" n'"n" — i). 



» 5. Plus généralement, lorsque les courbes de classes »', ii",... ont 

 toutes une tangente commune, qui soit une tangente multiple d'ordre v' 

 pour la première, d'ordre v" pour la deuxième, etc., le lieu du sonvnet 

 libre est une courbe de l ordre m, nio. . . (2 n'n"n"'. . . — y'v"v"'. . .). 



» 6. On sait que les normales d'une courbe U"„ enveloppent une courbe 



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