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 de la classe {m -+- n), qui a une tangente multiple d'ordre m à l'infini. Dès 

 lors ce dernier théorème donne lieu au suivant, qui, du reste, se démontre 

 aussi directement : 



» Lorsque tous les côtés d'un poljcjone doivent être normaux à des courbes U"„, 

 ^m'i ^'m"f-} Ê* f/"6 tous les sommets du poljcjone, moins un, doivent glisser sur 

 des courbes U,„|, U,„,,..., le dernier sommet décrit une courbe de iordie 

 ni.m,... [2(m'+ n')"(m"+ n")(m"'-+- n'")... - m'm"m"'...]. 



)) 7. La condition de normalité peut être généralisée; on peut, au lieu 

 de normales, prendre des obliques sous un angle constant (compté dans 

 un sens de rotation déterminé), et cet angle peut être quelconque pour 

 chacune des courbes U",, .... On aura de nouveaux énoncés des théo- 

 rèmes. 



» On peut même donner une plus grande généralité en prenant, au lieu 

 de normales ou d'obliques, des droites qui, avec les tangentes des courbes, 

 diviseraient un segment donné et unique dans un rapport anharmonique 

 donné, pouvant avoir une valeur quelconque relativement à chaque 

 courbe. 



M 8. Théorème II. — Lorsque tous les sommets consécutifs d'un poly- 

 gone abc. ..a' glissent sur des courbes d'ordre m,, m^, m^,.,., et que les côtés 

 consécutifs, moins le dernier, sont tangents à des courbes de classes n', n",.,., le 

 dernier côté enveloppe une courbe de la classe 27i'n"... m, in^ m^..., 



» Prenons un quadrilatère a^Crt'; la démonstration sera absolument la 

 même pour un polygone d'un tout autre nombre de côtés. 

 » On pose immédiatement 



IX, /», 7i' m.2 n"m^ ii" m., lU; 

 lu, in.,7Ï"in3?i"ni„?i'in, IX; 

 2H2, nin m^ m^ n'n"n"'. 



» Tel est le nombre des droites lU qui coïncident avec IX, c'est-à-dire 

 des côtés aa' qui passent par un point I quelconque. Telle est donc la 

 classe de la courbe enveloppe du côté aa' du polygone. c. Q. F. d. 



» Corollaire. — Cette courbe a 'im,m2m3m^n'n"/i"'n"' tangentes com- 

 munes avec une courbe de la classe fi'". On conclut de là le théorème déjà 

 conclu du théorème I. 



» 9. Si les courbes d'ordre m,, mn, m^,..., sur lesquelles glissent les 

 sommets du polygone, passent par un même point, alors la classe de lu 



