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 courbe enveloppe du cùlé libre est 



n'n"... {inif nu m^ — i). 



» En effet l'on trouve alors, clans la démonslralion précédente, qu'il y 

 a îi'ii"... solutions étrangères. 



» Prenons, par exemple, un triangle aba' dont les sommets a, h, a' 

 glissent sur trois courbes U,„,, U,„,, U,,,^, et dont les deux côtés ab, ba' 

 sont tangents à deux courbes U"',U"' . Les trois courbes ont un point commun 

 qui sera a pour la première, b pour la deuxième et a' pour la troisième. 

 Que IX passe par ci; par ce point on mène n' tangentes de U" , lesquelles 

 coupent U,„, en n' points b coïncidant avec a; de ces n' points on mène 

 11' n" tangentes à U"" qui coupent U„,^ en n' n" points a' coïncidant avec b 

 et conséquemment avec n\ donc n'n" droites lU coïncident avec IX, ce 

 qui fait n'n" solutions étrangères. Donc, etc. 



» 10. Le point a commun aux courbes ll,„,, U,„3,... peut être un point 

 multiple d'ordre quelconque, sur chacune des courbes, donc d'ordre V, sur 

 la première, d'ordre v^ sur la seconde, etc. Alors TX passe par V| points a; 

 d'où l'on mène v, n' tangentes de U"' qui coupent U,„. en v, «'vo points b; 

 d'où l'on mène v, Vo n'n" tangentes de U"" qui coupent U^^ en v, v^ n'n"))^ 

 points c coïncidant avec a, et pareil nombre dedroiteslU coïncidant avec IX. 

 Donc v, Vj V3 n'ti" solutions étrangères. 



» Donc : 



Lorsque les courbes \],n^^ U,„,, U,„ ,... ont un point commun^ qui est sur Tune 

 un point multiple d'ordre v,, sur l'autre un point multiple d'ordre Vo,..,, la 

 classe de la courbe enveloppe du côté libre du polyqone est 



?i'n".,.{2in, m.2 nij... — v, Vj V3...). 



» Si toutes les courbes U,„ ,... sont des droites, on a m, = r, v, = r, 

 Hio = I, Vo = r,..., et alors la courbe enveloppe du dernier côté du poly- 

 gone variable est de la classe n'n"n".... 



n 11. On peut, dans les théorèmes précédents, substituer des normales 

 aux tangentes des courbes de classes «',«",.... On a alors ce théorème : 



» Si de clinque point d'une courbe IJ,„ on mène des normales à deiLX 

 courbes \J',',[., U;;j'.., dont les premières renconlrcioiU une courbe U,„, en des 

 points a,, et les secondes rencontreront une courbe U,„, en des points Oj, les 

 droites n , a^ envelopperont une courbe de la classe 2 m m , m-, (m' ■+- u') ^m" + n"). 



