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» Je présente aujourd'hui une nouvelle application des normalies. 



» On donne, pour un point a d'une surface (S), les plans des sections princi- 

 pales de cette surface, et les centres de courbure principaux b et c situés sur la 

 normale A en a à (S). On demande de construire le centre de courbure de la sec- 

 tion E faite dans (S) par un plan quelconque (P) passant en a. 



» Jusqu'à présent, pour résoudre cette question, on procédait toujours 

 en reciierchaut d'abord le centre de courbure de la section normale à (S), 

 tangente en a à la courbe E. 



» Voici une construction directe qui dispense de cette recherche. 



» Par le centre de courbure principal h, menons un plan perpendicu- 

 laire à (P) et parallèle à la tangente at ixE; ce plan coupe le plan tangent 

 en è à la développée de (S), c'est-à-dire le plan d'une section principale 

 de cette surface, suivant une droite B'. De même, pour le centre de 

 courbure principal c, on obtient une droite C. D'un point quelconque t 

 de at, on mène une droite qui rencontre B' et C; la projection de 

 cette droite sur (P) coupe la normale en a à E au centre de courbure 

 cherché. 



» Pour démontrer l'exactitude de celte construction, considérons la nor- 

 malie à (S) qui a pour directrice la courbe E. Circonscrivons à cette nor- 

 malie un cylindre dont les génératrices sont perpendiculaires à (P). La 

 trace de ce cylindre sur ce plan est la développée de la courbe E; le centre 

 de courbure a, que nous cherchons, est le point de cette développée situé 

 sur la normale «a à E. 



» On coiuiaît trois plans tangents à la normalie : ce sont le plan tangent 

 en a et les plans tangents en b et c; ces deux derniers sont les plans des 

 sections principales de (S) potu' le point a. On peut donc facilement con- 

 struire le long de A un paraboloïde ayant les mêmes plans tangents que la 

 normalie. Prenons, pour l'un des plans directeurs de ce paraboloïde, le 

 plan perpendiculaire à (P) mené par la tangente nt à E. 



u Les génératrices de ce paraboloïde, qui sont du même système que A, 

 ont alors pour projections sur (P) des droites passant par un même point. 

 Ce point n'est autre que a, puisque a est le point de rencontie des projec- 

 tions de deux génératrices de ce parabolo'ide. 



» Pour construire le point a, on n'a donc qu'à projeter sur (P) une gé- 

 nératrice du même système que A et à prendre l'intersection de cette pro- 

 jection avec la normale nx. C'est ainsi que nous avons opéré dans la con- 

 struction donnée plus haut. 



» Dans le cas particulier où le plan sécant est mené par A , on j elrouve 



