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 la droite représentée pnr les équations (3), et que je désignerai par le nom 

 (le cnracléiisliciuc mixte, l'équation du plan osculateur devient siin|>lement 



(5) X(|-.r) + y.(-, -j)-h(s'-z) = o. 



Pour avoir l'équation du lieu des normales principales, il suffit d'élimi- 

 ner X, y, z entre les équations (3j, (5) et la première du groupe (4). Or 

 X, Y, Z, X, D", % sont des fonctions linéaires des coordonnées x^ j-, z; 

 les équations (3) et (5) fourniront pour ces coordonnées des valeurs fonc- 

 tions linéaires de H, rt, 'Ç et même de la fonction XÇ -i- ju.*; -}- vÇ ; en 

 substituant ces valeurs dans l'équation du plan normal qui est du second 

 degré par rapport aux coordonnées, on aura donc une équation du second 

 degré de la forme 



(X? + /Jt>5 + vÇ)(A^ 4- By] -i- CÇ) + A'? -f- B'n + C'Ç -4- D' = o, 



c'esl-à-dire l'équation d'un parnholoide hyperbolique dont l'un des plans direc- 

 teurs est perpendiculaire à la direction (X, fi, v). 



» Si l'on suppose qu'il s'agisse d'un système de forme invariable, le 

 paraboloïde a pour plans directeurs le plan perpendiculaire à la direction 

 (X, [J., v), et un plan parallèle à cette direction et à l'axe instantané glissant. 



n 6. Si l'on considère toutes les directions fX, p., v) perpendiculaires à 

 une direction fixe {a, b, c), et données par la relation 



al -r- bp. -f- cv := o, 



on reconnaît que le lieu des caractéristiques mixtes correspondant à ces diverses 

 directions est la surface du second degré représentée par l'équation 



abc 

 (G) X Y Z ^ o, 



obtenue par l'élimination de (X, p., v) entre les équations indiquées. 



» 7. La suif ace représentée par l'équation (G) peut être considérée comme 

 le lieu des points du système en chacun desquels te plan osculateur de la trajec- 

 toire est parallèle à la direction (n, b, c). 



» Car l'équation (6) exprime précisément la condition de ce parallélisme. 



» 8. En outre, l'équation (G) est identiquement vérifiée par les coor- 

 données de tous les points des droites 



X_Y_Z X. __ïï _'^ 

 a b c a b c 



