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 ses dérivées partielles à l'infini, d'autres relations privées d'arbitraires 

 (constantes, fonctions, sommations, etc.) ipic l'équation dillérentielle pro- 

 posée, et celles que l'on en déduit par différentialion. 



» i'^ L'intégrale générale primitive contient ou un nombre infini de con- 

 stantes arbitraires, ou des quantités dont le nombre augnuMite indéfiniment 

 par des differentiations successives. On connaît deux sortes d'expressions 

 jouissant de cette propriété : les fondions (irhilraires et les sommes partielles 

 contenant des fonctions arbitraires. J'appellerai, comme Ampère, inte'j/rn/es 

 de la première classe celles qui ne contiennent que des fonctions arbitraires 

 dégagées de tout signe de sommation partielle : les autres seront de la 

 deuxième classe. 



» 2° Si une équation aux différentielles partielles d'ordre m el h p va- 

 riables indépendantes admet une intégrale générale primitive de la première 

 classe, cette intégrale contiendra m fonctions arbitraires de p — i variables 

 auxiliaires, et les dérivées de ces fonctions en nombre fini. 



» 3° Si F = o est l'équation proposée, une variable auxiliaire quel- 

 conque a satisfait à l'équation 



OS 



dx<'d)''dz%...,dt"'-''~''-'- J 



le signe S s'étendant à toutes les dérivées partielles de F relativement aux 

 dérivées de'V d'ordre m. 



» 4° Cette équation bomogène du premier ordre et du degré m doit se 

 décomposer en m facteurs linéaires correspondant cliacun à une fonction 

 arbitraire. Cette condition est nécessaire et non suffisante. Legendre a 

 énoncé, et M. Ed. Combescure a démontré un tbéorème analogue, mais 

 moins complet. 



» II. Si une fonction V de /) variables indépendantes contient m fonc- 

 tions arbitraires de^ — i variables auxiliaires, V satisfait en général à plu- 

 sieurs équations aux différentielles partielles d'un ordre supérieur à m; 

 s'il n'y a qu'une équation, elle est d'ordre m. Si une ou plusieurs des fonc- 

 tions arbitraires contiennent moins de p — i variables auxiliaires, la fonc- 

 tion V satisfait nécessairement à plusieurs équations aux différentielles par- 

 tielles. 



» III. Un système de n équations aux différentielles partielles, conte- 

 nant n fonctions inconiuies ôe p variables indépendantes et quelques-unes 

 de leurs dérivées, admet aussi une intégrale générale primitive de la pre- 



