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 mière ou de la deuxième classe; j'établis des théorèmes analogues aux 

 précédents, si l'intégrale générale primitive est de la première classe. 



» Je suppose que, ces équations soient de l'ordre m, en V,, m^ en V,,.-» 

 m„ en V„. Pour chacune de ces équations et cïiacune des fondions incon- 

 nues, je fais une somme analogue à celle qui entre dans l'équation (i), en 

 ne m'occupant que des dérivées de l'ordre hz, en V,, m., en Vo,..., '»„ en V„, 

 et je forme un déterminant contenant dans une ligne horizontale toutes 

 les sommes relatives à une même équation et dans une ligne verticale toutes 

 celles qui se rapportent à une même fonction inconnue. Ce déterminant 

 égalé à zéro est une équation aux différentielles partielles du premier ordre, 

 homogène en a et du degré m, + m^ +...-t- ni,,', je l'appelle le détenninaiU 

 différentiel total . 



» i" S'il n'est pas identiquement nul, l'intégrale générale primitive sup- 

 posée de la première classe contient 7;/, -+- 7«2 H-,..+ m,, fonctions arbi- 

 traires distinctes, chacune des p — i variables auxiliaires. 



» 2° Les variables auxiliaires annulent ce déterminant. 



» 3° Il doit se décomposer en m, -b m2 + ...-{- m„ facteurs linéaires cor- 

 respondant chacun à une fonction arbitraire. Cette condition est néces- 

 saire et non suffisante. 



» [\° Je suppose qu'une ou plusieurs équations du système proposé soient 

 d'un ordre moindre que les autres relativement à toutes les fonctions in- 

 connues, et qu'il faille différentier la première g fois, la seconde g' fois, etc., 

 pour qu'elles soient du même ordre que les autres, relativement à une ou 

 plusieurs fonctions inconnues, mais d'un ordre inférieur relativement aux 

 autres. Je forme le déterminant différentiel total comme plus haut; mais, 

 pour les équations d'un ordre inférieur, il faut s'occuper seulement des 

 fondions qui, après différentiation, deviennent du même ordre que dans 

 les autres équations, et élever les dérivées partielles de a aux degrés cor- 

 respondant aux indices de différentiation dans l'équation considérée. Ce 

 déterminant sera du degré 7?Z|'r »2j-(-...+ ni„ — g —g'—.... S'il n'est pas 

 nul, l'intégrale générale primitive supposée de la première classe contient 

 m, + 7H0+...+ '«;(— g —g'—... fonctions arbitraires distinctes, chacune 

 (\e p — I variables auxiliaires. 



1) B" Les variables auxiliaires annulent ce déterminant. 



» 6" Il doit se décomposer en 77/,+ 7772 + ... -1- 777,,— g — g' — ... facteurs 

 linéaires correspondant chacun à une fonction arbitraire. Cette condition 

 est nécessaire et non suffisante. 



)S 7" Si le déterminant différentiel tolal est nid, par un calcul trop long 



