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 à indiquer ici, je déduis du système proposé une équaliouy = o à laquelle 

 doivent satisfaire les fonctions inconnues. Cette équation, jointe à « — i 

 des équations données, fournit un déterminant différentiel total générale- 

 ment différent de zéro. Il n'est plus possible de fixer le nombre des fonc- 

 tions arbitraires; mais, en général, le nombre des fonctions arbitraires de 

 p — I variables auxiliaires se réduit, et il s'introduit des fonctions arbitraires 

 de moins de ^ — i variables auxiliaires. 



» Si l'équation/ = o est identiquement nulle, il y a indétermination; 

 une des fondions inconnues peut être |)rise arbitrairement. 



» Si celte équation se réduit à une relation entre les variables indépen- 

 dantes, il y a impossibilité. 



» IV. Si le nombre des équations proposées est supérieur au nombre 

 des inconnues, je montre qu'on peut reconnaître, par des différeuliations 

 et des éliminations, s'il existe ou non une intégrale commune. » 



GiiOMÉTRlE. -— Sur les points sinrjutiers des cntifhes nlgébrujues plniws. Mémoire 

 de M. Halphen, présenté par M. de la Gournerie. (Extrait par l'auteur.) 



(Commissaires : MM. Bertrand, Bonnet, de la Gournerie.) 



Dans le Mémoire que j'ai l'honnciu' de soumettre à l'Académie, je me 

 suis proposé d'étudier l'influence des points singidiers tant sur les pro- 

 priétés générales des courbes algébriques planes que sur les affections des 

 courbes dérivées, notamment les courbes corrélatives et les développées. 

 Ce travail est divisé en sept articles. 



M Dans le premier article, après quelques considérations générales, je 

 m'occupe du problème suivant : Deux courbes se rencontrant en un point 

 singulier, quel est le nombre de leurs intersections qui y sont confondues? Ce 

 problème a fait l'objet de plusieurs travaux, dus notamment à MM. Cayley, 

 de la Gournerie et Painvin (i). Je ne m'occupe pas du problème, plus spé- 

 cialement considéré par M. Painvin, et qui consiste à trouver ce nombre 

 sans former les développements en série qui représentent, aux environs 

 du point considéré, les branches des deux courbes. La solution de ce pro- 

 blème est facile, grâce aux propositions que je donne; mais, comme celle 



(i) Quartcily Journal, t. VII. — Journal de Mal/ic'matir/ues, 2" srrir, I. XIV el XV. — 



Comptes nnilus, t. LXXVII. — Buthtin des Sciences mathènialiqucs et nstionomiqucs, 

 t. IV cl V. 



C. R.. 187/1, I" 5<mri(re. (T, I.XXV111. N» 10.) '43 



