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 question m'a paru ne pas tenir au fond même de la théorie, j'ai cru de- 

 voir la réserver potir un travail séparé. Je démontre donc simplement U's 

 propositions qui montrent quels senties éléments géométriques intervenant 

 dans la question, en particulier ce théorème, contenu implicitement dans 

 un Mémoire de M. Cayley et généralement accepté : 



>i TiiÉORÈMfc;. — Le nombre des intersections de deux courbes, réunies en un 

 point, est égal au produit des multiplicités de ce point sur les deux courbes, 

 augmenté de la somme des ordres des contacts des branches d'une courbe avec 

 les branches de l'autre. 



» Ce théorème, qui est, comme on lo voit, une extension des principes 

 élémentaires relatifs aux points simples, est lai-mème un cas particidicr 

 d'une proposition plus générale que j'ai déjà énoncée (i), et qui est entiè- 

 rement démontrée dans le présent Mémoire. 



)' Dans l'article II, j'applique aux courbes quelques-ims des principes 

 contenus dans le Mémoire sur les fonctions algébriques, de M. Puiseux (2), 

 et j'en donne, comme il suit, l'interprétation géométrique : 



» Théorème. — ^iix environs d'un point singulier quelconque, une courbe 

 plane algébrique est représentée avec telle approximation que ion veut, par la 

 projection de plusieurs courbes gauches distinctes, aux environs de j}oints simples 

 de ces courbes. 



>' Dans les articles III et IV, je donne des développements algébriques 

 propres à faire connaître la nature intime des points singuliers, leur trans- 

 formation dans les courbes corrélatives, l'abaissement qu'ils produisent 

 dans la classe d'une courbe, le nombre des points d'inflexion qu'ils ab - 

 sorbent. Ces dernières questions sont traitées, dans l'article V, par une 

 autre méthode, dérivant des propositions de l'article P'. J'indique les plus 

 importantes des propositions contenues dans celte partie de mon travail. 



» TllliollÈME. — Lasomme des ordres des contacts des branches d' une courbe 

 avec une de ses tangentes est égale à la multiplicité du point corresjjoudant à cette 

 tangente dans la courbe corrélative. 



11 TiirionÈME. — La somme des ordres des contacts île deux courbes en un 

 point est égale à la même iommc pour les courbes corrélaiives aux points corres- 

 pondants. 



» Théorème. — L'abaissement de la classe d'une courbe, dû à un point sin- 



(i) Bidleliii de la Soriclr iiinl/u'm(iti(/uc, t. I, )>. 1 3o. 

 (2) Journal df M<itliéimitiqiies, année i85o. 



