( "07 ) 

 cjiilicr quelconque, est l'ujal au doulile de la somme des ordres des segments infini- 

 ment petits et infnnmenl voisins de ce point, interceptés, par lu courbe sur une 

 sécante dont lu distance au jioiul simjulier est infiniment petite du pronicr ordre, 

 et tpiifait des amjles finis avec les tangentes de la courbe en ce point. 



» Ce théorème est iinpiicitenient contenu dans un Mémoire de M. Cayley. 



" TlllvORKME. — Le nombre des points <r inflexion absorbés par un point sin- 

 gulier est égal au triple de i abaissement que (c point produit dans la classe, di- 

 minué de sa nmltiplicité, et augmenté de la somme des multiplicités des }M>inls 

 (pii lui correspondent dans la courbe corrélative. 



» Dans les articles VI et Yll, je m't)ccii|ie des développées. Je détermine 

 les abaissements qui se produisent dans le degré et dans la classe do la 

 développée d'une courbe, par suile de la jjréscncc de points singuliers 

 (]uelconques sur cette courbe. Je détermine aussi la nature des jjoints 

 correspondants snr cette développée. Les propositions que je démontre 

 sont très-simples et tout à fait générales. Il a été nécessaire de considérer 

 plusieurs cas différents, ce qui multiplie le nombre de ces propositions; 

 aussi ne les énoncerai-je pas ici. Il suffira de dire qu'il m'a été possible 

 d'en déduire deux lois générales auxquelles sont soumises les développées 

 successives d'iuie courbe algébrique donnée. Ces courbes, à partir (\\m 

 rang déterminé dépendant de la courbe initiale, sont soumises aux lois 

 suivantes : 



» TniiiORÈME. — À partir d'un certain rang, tous les points non à l'infini 

 de l'une quelconque des dévelopjiécs sont tels, que leurs correspondants, dans 

 toutes les suivantes, ne sont jtnnais à l'infini. 



1) Tlll'lORÈME. — ^/ partir d'un certain rang, les degrés et les classes des dé- 

 veloppées successives d'une courbe algébrique <pielconque forment deii.\ progres- 

 sions arithmétiques de même raison. 



» Ainsi, par exemple, la n"'"'^ développée d'iuie parabole est du degié cl 

 (le la classe (2 + ?i). 



» Pour une courbe générale de degré m, le degré et la classe de la pre- 

 mière développée sont, comme on sait, 



m, — Zin{m — 1), c, ~ m^\ 



potu- 1,1 deuxième développée 



m. - ni{c)in i3), r.^- .'\iii[m i), 



et potn- la (// -f- ^f""" 



i»n+-2 — iiii r ■iiim{'5in - f)), c,,,. - c,-+- 2nin{3in — 5). 



./,;v 



