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ALGÉCRii. — Sur les faisceaux de formes quadratiques et hilinéaires i 

 Note de M. Kkoxecker. 



« J'ai rfionneur d'offrir à l'Académie mes Mémoires sur les faisceaux de 

 formes quadratiques et hilinéaires. Il résulte des dévelo|)penients coutomis 

 dans ces Mémoires, à la fin desquels cette conclusion se trouve d'ailleurs 

 indiquée, que dans le Mémoire de M. Jorilan sur les formes hilménires Jour- 

 nal de M. Liouville, a" série, t. XIX, p. 35-54), ''> solution du premier pro- 

 blème n'est pas véritablement nouvelle; la solution du deuxième est man- 

 quée, et celle du troisième n'est pas suffisamment établie. Ajoutons qu'en 

 réalité ce troisième problème embrasse les deux autres comme cas particu- 

 liers, et que sa solution complète résulte du travail de M. Weierstrass 

 de 1868, et se déduit aussi de mes additions à ce travail. 11 y a donc, si je 

 ne me trompe, de sérieux motifs pour contester à M. Jordan l'invention 

 première de ses résultats, en tant qu'ils sont corrects; mais ce n'est pas là 

 l'intention qui m'a guidé dans l'examen auquel, dans le cours des miens, 

 j'ai soumis les travaux analogues de M. Jordan. J'ai été entraîné dans cette 

 voie par le désir de reconnaître la véritable portée des méthodes dont il 

 s'est servi et des résultats auxquels il est parvenu, et d'en éclaircir les ra|) 

 ports avec les méthodes et les résultats antérieurs, et ce n'est pas une ques- 

 tion de priorité, mais une question d'analyse, que je me suis proposé 

 d'élucider par mes remarques. Croyant d'ailleurs qu'elles servent à me 

 justifier, si dorénavant je me dispense de revenir sur les publications de 

 M. Jordan relatives à ce sujet, je vais en peu de mots indiquer les prin- 

 cipes à l'aide desquels j'ai traité la théorie des faisceaux de formes qua- 

 dratiques et qui peuvent être appliqués directement à une question de 

 transformation des formes hilinéaires, que j'ai déjà abordée en 186G. 

 C'est par ces moyens, en effet, que j'ai trouvé qu'en opérant la même 

 substitution linéaire sur les deux séries de variables, tout polynôme bili- 

 néaire peut être transformé en une somme de fonctions de l'iuie des 

 formes suivantes : 



I- ( — O"^-"^/. ,'/.+< -+-^{ — ')'')'/,^-/,+, + ^-..yu (/' = o, 1,...,// — 1), 



h h 



II. i^.ry, )/,^, -^ ]^(-i/';-/,.r/,H.| (// = o, 1 ,.,., 2m — a), 



/, /. 



III. a^Ji-,. )/,^, -h b^j-,,x,,^, {a->b^),{/i=^o,i,...,n-î). 



h h 



Ces trois fonctions ne sont |)lus décomposables d'une manière analogue 



