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MÉMOIRES PRÉSEIVTÉS. 



GÉOMÉTRIE. — Sur les courbes unicursales. Mémoire de M, Pain vin, 

 présenté par M. Herraite. 



(Commissaires : MM. Chasles, Hermite.) 



« 1. Lorsque les coordonnées des points d'une courbe sont connues en 

 fonction d'un paramètre arbitraire, on peut obtenir la forme de la courbe, 

 les points d'inflexion, le cercle osculateur, etc., et, dans un grand nombre 

 de cas, c'est là un des moyens les plus commodes pour étudier les pro- 

 priétés et les particularités de la courbe elle-même. Mais ce mode de repré- 

 sentation n'offre plus d'avantages lorsqu'il s'agit d'étudier les rapports avec 

 la courbe des systèmes qui lui sont extérieurs, par exemple les propriétés 

 des polaires, de la courbe hessienne, etc. Il y a donc nécessité, dans ces cir- 

 constances, de chercher les équations de la courbe et des polaires de di- 

 vers ordres. 



» Or il est facile, dans le cas des courbes unicursales, d'établir une for- 

 mule qui donne les équations des polaires de manière qu'on n'ait plus à 

 se préoccuper d'élimination. 



» 2. Supposons les coordonnées x, j, z d'un point quelconque d'une 

 courbe unicursale définies par les égalités 



(!) 



OU 



(-) 



/.(O 



y 



' Mn 



J\[t) :^a„t'" + a,t"'-' 

 J',{t) = b.f" + b,i"'-' 

 J,[t) ^Coi'" + c,t"'-' 



a„ 

 b„ 



» Posons d'abord 



le premier indice, dans les A, ne doit jamais être supérieur à m; W faudra 



