( >2.3 ) 



Xg,..., X/„ toutes les quantités renfermées clans^, à l'exception des dérivées 

 partielles p;... de l'ordre [r-h s — i\ lesquelles s'introduisent à la [s — jV'-me 

 difiérenfiation. La partie dont il s'agit est donc une expression do l'ordre 



r-{- s — I relativement aux dérivées partielles pi On déduit pareillement 



de l'équation (2) 



a .ji 

 Si l'on multiplie cette équation par -r — 1 et que l'on prenne la somme des 

 produits par rapport à toutes les combinaisons rà r des nombres de la suite 

 I, 2,..., ?i, on aura, en intervertissant les\ dans la seconde partie, et écri- 

 vant Pi...jg...h au lieu de Pg...hi...ji 

 /►x ^ [ '^"^ \ '^f -^ "F ■«T' --'/ 



I \ dXi . . .(Il/, J (Ipi 1 ^ 'lps..M ■^ à Pi, , .y 



Or la somme qui figure à la fin de cette équation revient, en vertu de (3), 

 <'i — '. -j—\\ on a donc finalement 



\(lorg...dxi,j 



'■■■/ S- fi 



Telle est la formule que je me proposais d'établir. L'équation (6) est de 

 l'ordre r + s — i; mais comme elle provient de l'élimination des dérivées 

 d'ordre [r+s) entre des équations déduites de/ et de F respectivement 

 par s et rdifférentiations partielles, elle n'est pas généralement une consé- 

 quence des équations de l'ordre [r + s — 1) obtenues en différentiant 

 [s — i) fois réquation/= o, et (r— i) fois l'équation F= o. 



» Le cas le plus important est celui où, /étant du premier ordre, F est 

 d'un ordre quelconque s. La formule (6) devient dans le cas présent 

 / \ ^ldV\d/ ^f d'f \ d? 



( 7 ) 2 [dii) Tij, - 1 [d:—d7;J d^, = «' 



et constitue une équation précisément du même ordre que l'équation (1). 

 En désignant cette équation nouvelle par 



(2,) F, = o, 



et appliquant à (r)et (a,) la formule (7), on obtiendra une nouvelle équa- 

 tion, encore du même ordre s, 



(2.) F, = o, 



