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» Si p est supérieur à -— - q \ogcj — ({ ^- i ^^/{q)^ le degré de G ne pourra 



9. 



surpasser pq -i- :~- q log^ + 2^. 



» Cette nouvelle limite est déjà assez rapprochée; mais les considérations 

 qui servent à l'établir sont encore difficiles. D'ailleurs elles laissent entière- 

 ment de côté le cas fort important où Ton a /'</(ç). 



» La nouvelle méthode qui fait l'objet de notre Mémoire actuel embrasse 

 au contraire tous les cas; elle repose d'ailleurs sur des principes très-sim- 

 ples, que nous allons exposer en peu de mots. 



» Soient A, A',... les substitutions semblables à A que contient le 

 groupe G; on sait que le groupe H, dérivé de ces substitutions, doit être 

 transitif. 



» Soit To le groupe dérivé de celles des substitutions A, A',... qui ne dé- 

 placent d'autres lettres que celles de A. Si T^ n'est pas transitif, ses lettres 

 pourront se répartir en classes, en groupant ensemble celles que T^ per- 

 mute entre elles. Soient 'No = pq le nombre total des lettres deFo; M^^y? le 

 nombre des lettres de la classe la plus nombreuse Cu ; R = ç le nombre des 

 classes. 



» Le groupe H étant transitif, l'une au moins des substitutions A, A',... 

 permutera, dans ses cycles, des lettres de Co avec d'autres lettres. Si, parmi 

 les substitutions jouissant de celte propriété, il en existe une JL qui rem- 

 place toutes les lettres de Co par d'autres lettres étrangères à cette classe, 

 le groupe F, formé parcelles des substitutions de A, A',... qui ne déplacent 

 que les lettres contenues dans Fo ou dans .1, contiendra N, lettres, formant 

 R, classes, dont la plus nombreuse contiendra M, lettres, N,, R,, M, satis- 

 faisant aux inégalités 



N, = No -^- pq -M,,, 



(e étant égal à a si /7 ~ 2, à 



» On pourra raisonner sur F, comme sur Fq, et ainsi de suite, jusqu'à 

 un groupe F|j., pour lequel on aura 



■ N^. = N., ^'r iJ.pq - (M„ + . . . + M,,_, ) = [p. A- i)pq-p '^ , 



et tel qu'il soit impossible de trouver, dans la suite A, A',. . ., une substi- 



