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ANALYSE MATHÉMatiqup:. — Sur les intégrales des équations différentielles des 

 courbes qui ont une ménie surface polaire. Note de M. l'abbé Aoust, pré- 

 sentée par jM. Le Verrier (i). 



« La recherche des courbes qui ont une même surface polaire, lieu des 

 intersections successives des plans normaux à ces courbes, dépend du 

 Calcul intégral; elle se lie intimement à plusieurs questions de la 

 théorie des surfaces, et, entre autres, à la détermination des surfaces dont 

 toutes les lignes de courbure d'une série sont planes; elle se lie aussi à 

 plusieurs problèmes sur les courbes non planes, tels que le problème de 

 courbes parallèles. 



» Le but de cette Note est de montrer comment on obtient les inté- 

 grales générales des équations différentielles des courbes de la question 

 posée au moyen des équations que nous avons données [Comptes rendus, 

 t. LXX, p. 978; 1870) du problème généralisé des roulettes, consistant à 

 trouver, sous forme finie, les équations de la courbe décrite par un point lié 

 avec une courbe non plane dans le cas où cette courbe, entraînant le point 

 décrivant, roule sur luie courbe également non plane sous cette condition 

 que les plans osculateurs des deux courbes coïncident à chaque instant. 



» 1° Equations différentielles. — Soient les équations de l'arête de 

 rebroussement de la surfiice polaire 



(i) .x'=9(0, f = ?,{t), z' = o,{t), 



t étant la variable qui fixe la position du point; x\ j\ z' les coordonnées 

 d'im point quelconque de cette courbe; x,^^, z les coordonnées du point 

 correspondant delà courbe cherchée. Nous appelons C, C la première et 

 la seconde de ces deux courbes. Soient t, p, v la tangente, le rayon de 

 courbure est la binormale de la courbe C; di, cl(ji, cia les angles de pre- 

 mière, de deuxième et de troisième courbure; ds la différentielle de l'arc; 

 nous représentons par les mêmes lettres accentuées les éléments corres- 

 pondants de la courbe C. Il est évident que les coordonnées x',y\ z' de 

 l'arête C sont données par les éqtiations du plan normal à la courbe C 

 supposée connue, et les dérivées première et seconde de cette équation. 

 Si l'on représente ces trois équations par 



(2) N = o, N' = o, N" = o, 



(i) L'Aradémîe a décidé que cette Communication, bien que dépassant en étendue les 

 limites réglementaires, serait insérée en entier aux Comptes rendus. 



