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fions (i), qu'il en est de même des cosinus des angles que les trois lignes 

 t', js', v' font avec les trois axes j:, j-, z, et que l'angle e' est aussi connu en 

 fonction de t, les trois équations (5) font connaî(re les coordonnées 

 Jc,j,z d'iui point quelconque de la courbe cherchée C en fonction de la 

 variable indépendante <,ou, si l'on veut, en fonction de s'.Cesontdonc les 

 intégrales générales des courbes qui ont pour surface polaire la surface 

 développable, lieu des tangentes de la courbe donnée C: ce qui est la 

 solution du problème propoé. 



H 3° Mélhodc des rouletles. — La marche que nous allons suivre donne 

 immédiatement, sous forme explicite, les intégrales du problème qui se 

 présente alors comme cas particulier du problème générai des roulelles, 

 tel que nous l'avons énoncé au commencement de cette Note. Cette appli- 

 cation de nos formules [Comptes rendus, t. LXX, p. 978) mettra en 

 évidence la facilité avec laquelle elles sont applicables et leur incontes- 

 table utilité. 



» Considérons la courbe plane C', qui aurait pour rayon de courbure 

 la même fonction de s', qui donne la valeur de p' de la courbe C; les 

 équations cartésiennes de la courbe C^ par rapport à deux axes rectangu- 

 laires O', x\ , 0\j-\ , menés dans son plan par le point fixe O', , sont les deux 

 suivantes : 



(6) x\ — Xg ^fp' cosi'di', j\ ~ fu —f p' s'im'di', 



dans lesquelles x\, y\ sont les coordonnées du point de la courbe C', et 

 jTo) 7*0 deux constantes arbitraires. Ce sont les équations de la courbe que 

 l'on obtient en développant la surface osculatrice de la courbe C sur un 

 de ses plans osculateurs; par ce développement, la courbe C se trans- 

 forme en la courbe C', . D'après ces équations, on connaît en fonction 

 d'une seule variable l' la dislance R d'un point de la courbe C', au point O'^, 

 ainsi que l'angle de cetle distance avec la droite fixe 0\x\. Supposons 

 maintenant que l'on fasse rouler sans glissement la courbe C', sur la 

 courbe C par cette condition que le plan de la première coïncide à chaque 

 instant avec le plan osculateur de la seconde; il est évident que le point O', 

 engendrera dans ce mouvement la courbe cherchée, de sorte que, si oc, y, z 

 sont les coordonnées du point décrivant O', par rapport aux axes fixes 

 auxquels la courbe C est rapportée, on aura, eu remarquant que l'angle 

 (R, v) est droit, les trois équations contenues dans le type suivant : 



(5') X - x' = R[cos(R,t')cos(t',.i') + cos(R, p')cos{p', x)]; 



